第二篇　苏格拉底、柏拉图、亚里士多德５０３

在一个直角三角形中，弦的平方等于两夹边的平方之和。无论如何，这个定理是在很早的时期就被毕达哥拉斯派所知道了的。他们也知道三角形的内角之和等于两个直角。

除了２的平方根之外，其他的无理数在特殊的例子里也曾被与苏格拉底同时代的狄奥多罗斯研究过，并且曾以更为普遍的方式被与柏拉图大致同时而稍早的泰阿泰德研究过。

德谟克里特写过一篇关于无理数的论文，但是文章的内容我们已不大知道了。柏拉图对这个题目是深感兴趣的；他在以“泰阿泰德”

命名的那篇对话里提过了狄奥多罗斯和泰阿泰德的作品。在《法律篇》中，他说过一般人对这个题目的愚昧无知是很不光彩的，并且还暗示着他自己之开始知道它也是很晚的事情。它当然对于毕达哥拉斯派的哲学有着重要的关系。

发见了无理数的最重要的后果之一就是攸多克索（约当公元前４０８—３５５年）

之发明关于比例的几何理论。

在他以前，只有关于比例的算数理论。

按照这种理论，如果ａ乘ｄ等于ｂ乘ｃ，则ａ比ｂ就等于ｃ比ｄ。这种界说，在还没有有关无理数的几何理论时，就只能应用于有理数。然而攸多克索提出了一个不受这种限制的新界说，其构造的方式暗示了近代的分析方法。这一理论在欧几里德的书里得到了发展，并具有极大的逻辑美。

攸多克索还发明了或者是完成了“穷尽法”

，它后来被阿几米德运用得非常成功。

这种方法是对积分学的一种预见。

譬如，我们可以举圆的面积问题为例。你可以内接于一个圆而作出一个正六边形，或一个正十二边形，或者一个正一千边

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６０３卷一　古代哲学

或一百万边的多边形。

这样一个多边形，无论它有多少边，其面积是与圆的直径的平方成比例的。

这个多边形的边越多，则它也就越接近于与圆相等。你可以证明，只要你能使这一多边形有足够多的边，就可以使它的面积与圆面积之差小于任何预先指定的面积，无论这一预先指定的面积是多么地小。

为了这个目的，就引用了“阿几米德公理”。这一公理（多少加以简化之后）是说：假设有两个数量，把较大的一个平分为两半，把一半再平分为两半，如此继续下去，则最后就会得到一个数量要小于原来的两个数量中较小的那一个。换句话说，如果ａ大于ｂ，则必有某一个整数ｎ可以使２ｎ乘ｂ大于ａ。

穷尽法有时候可以得出精确的结果，例如阿几米德所做的求抛物线形的面积；有时候则只能得出不断的近似，例如当我们企图求圆的面积的时候。求圆的面积的问题也就是决定圆周与直径的比率问题，这个比率叫作π。

阿几米德在计算中使用了２７的近似值，他做了内接的与外切的正９６边形，从

而证明了π小于３１７并大于３１０７１。这种方法可以继续进行到任何所需要的近似程度，并且这就是任何方法在这个问题上所能尽的一切能事了。使用内接的与外切多边形以求π的近似值，应该上溯到苏格拉底同时代的人安提丰。

欧几里德——当我年青的时候，它还是唯一被公认的学童几何学教科书——约当公元前３００年，即当亚历山大和亚里士多德死后不久的几年，生活于亚历山大港。他的《几何原本》绝大部分并不是他的创见，但是命题的次序与逻辑的

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