第一篇　前苏格拉底哲学家９６

毕达哥拉斯的最伟大的发现，或者是他的及门弟子的最伟大的发现，就是关于直角三角形的命题；即直角两夹边的平方的和等于另一边的平方，即弦的平方。埃及人已经知道三角形的边长若为３，４，５的话，则必有一个直角。但是显然希腊人是最早观察到３２＋４２＝５２的，并且根据这一提示发现了这个一般命题的证明。

然而不幸，毕达哥拉斯的定理立刻引到了不可公约数的发现，这似乎否定了他的全部哲学。在一个等边直角三角形里，弦的平方等于每一边平方的二倍。让我们假设每边长一时，那么弦应该有多么长呢？

让我们假设它的长度是ｍｎ时。

B那么ｍ２ｎ２＝２。

如果ｍ和ｎ有一个公约数，我们可以把它消B去，于是ｍ和ｎ必有一个是奇数。现在ｍ２＝２ｎ２，所以ｍ是偶数，所以ｍ也是偶数；因此ｎ就是奇数。假设ｍ＝２ｐ。那末４ｐ２＝２ｎ２，因此ｎ２＝２ｐ２，而因此ｎ便是偶数，与假设相反。

所以就没有ｍｎ的分数可以约尽弦。以上的证明，实质上就B是欧几里德第十编中的证明①。

这种论证就证明了无论我们采取什么样的长度单位，总会有些长度对于那个单位不能具有确切的数目关系；也就是说，不能有两个整数ｍ、ｎ，从而使问题中的ｍ倍的长度等于ｎ倍的单位。

这就使得希腊的数学家们坚信，几何学的成立必定是独立的而与算学无关。

柏拉图对话录中有几节可以证明，在他那时候已经有人独立地处理几何学了；几何学完成于欧

①但是这并非欧几里德所发现的，见希斯：《希腊的数学》。以上的证明或许柏拉图是知道的。

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０７卷一　古代哲学

几里德。欧几里德在第二编中从几何上证明了许多我们会自然而然用代数来证明的东西，例如（ａ＋ｂ）

２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２。

正是因为有不可公约数的困难，他才认为这种办法是必要的。

他在第五编、第六编中论比例时，情形也是如此。整个体系在逻辑上是醒目的，并且已经预示着十九世纪数学家们的严谨了。只要关于不可公约数还没有恰当的算学理论存在时，则欧几里德的方法便是几何学中最好的可能方法。当笛卡儿介绍了坐标几何学从而再度确定了算学至高无上的地位时，他曾设想不可公约数的问题有解决的可能性，虽然在他那时候还不曾发现这种解法。

几何学对于哲学与科学方法的影响一直是深远的。希腊人所建立的几何学是从自明的、或者被认为是自明的公理出发，根据演绎的推理前进，而达到那些远不是自明的定理。

公理和定理被认为对于实际空间是真确的，而实际空间又是经验中所有的东西。这样，首先注意到自明的东西然后再运用演绎法，就好像是可能发现实际世界中一切事物了。这种观点影响了柏拉图和康德以及他们两人之间的大部分的哲学家。

“独立宣言”

①说：“我们认为这些真理是自明的”

，其本身便脱胎于欧几里德。十八世纪天赋人权的学说，就是一种在政治方面追求欧几里德式的公理②。牛顿的《原理》一书，尽管它的材料公认是经验的，但是它的形式却完全是被欧几里德所支配着的。严格的经院形式的神学，其体裁也出于同一

①这里指的是美国的“独立宣言”——中译本编者②佛兰克林用“自明的”代替了杰弗逊的“神圣的与不可否认的”。

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