第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

２。符号系统的说明A这一章并不属于逻辑史。

它的目的是根据现代形式逻辑的要求，但与亚里士多德本人所陈述的观念密切联系，构造一个非模态三段论的系统。

现代形式逻辑是严格地形式化的。

为了得到一个精确的形式化理论，使用一套为此目的而发明的符号系统，比起使用有着自己的语法规律的普通语言要方便得多。

所以，我必须从这样一套符号系统的说明开始。

由于亚里士多德的三段论系统包括着命题逻辑的最基本部分（即演绎理论）

，我将同时说明这两个理论系统的符号表示法。

在这两个理论系统中，都有变项和常项出现。

变项由小写拉丁字母表示，常项由大写拉丁字母表示。

我用起首的字母ａ，ｂ，ｃ，ｄ，…，表示亚里士多德逻辑的词项变项（ｔｅｒｍｖａｒｉCａｂｌｅｓ）。

这些词项变项以普遍词项作为它的值，如“人”或“动物”。

我用大写字母Ａ，Ｅ，Ｉ，Ｏ表示亚里士多德逻辑的常项（中世纪的逻辑学家已经在这个意义上使用这些符号）。

借助于这两类字母，我构成亚里士多德逻辑的四个函项，书写时把常项置于变项之前：

-- 124

２１１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

Ａａｂ表示　所有ａ是ｂ或ｂ属于所有ａ，Ｅａｂ表示　没有ａ是ｂ或ｂ属于无一ａ，Ｉａｂ表示　有些ａ是ｂ或ｂ属于有些ａ，Ｏａｂ表示　有些ａ不是ｂ或ｂ不属于有些ａ。

常项Ａ，Ｅ，Ｉ，Ｏ都叫函子，ａ和ｂ叫做它们的变元（ａｒｇｕｍｅｎｔｓ）。

所有亚里士多德的三段论都是由彼此相联系的这四种函项借助于“如果”和“并且”等词而组成。

“如果”

、“并且”

等词也表示函子，但它是与亚里士多德逻辑常项不同的另一类：它们的变元不是词项表达词（ｔｅｒｍ－ｅｘｐｒｅｓｉｏｎ）

，即具体词项或词项变项，而是命题表达式（ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ

ｅｘCｐｒｅｓｉｏｎ）

，即是像“所有人都是动物”那样的命题，像“Ａａｂ”那样的命题函项或命题变项。

我用ｐ，ｑ，ｒ，ｓ，…，表示命题变项，用Ｃ表示函子“如果”

，用Ｋ表示函子“并且”。

表达式Ｃｐｑ即是“如果ｐ，则ｑ”的意思（“则”可以省去）

，并且叫做以ｐ为前件，ｑ为后件的“蕴涵式”。

Ｃ并不属于前件，它仅仅把前后件联系起来。

表达式Ｋｐｑ即是“ｐ并且ｑ”

的意思，并称为“合取式”。

在有些证明中我们还会遇到命题逻辑的第三个函子，即命题的否定。

它是一个变元的函子，用Ｎ表示。

要把函项Ｎｐ翻译为英语或任何其它现代语言都是困难的，因为没有与命题否定相当的单个的字眼①。

我们只得用一种绕弯子的方式说“ｐ不是真的”

（ｉｔ－ｉｓ－ｎｏｔ－ｔｒｕｅ－ｔｈａｔ

ｐ）或“不是ｐ那种情况”

（ｉｔ－ｉｓ－ｎｏｔ－ｔｈｅ－ｃａｓｅ－ｔｈａｔ

ｐ）。

为了简便起见，我采用表达式“非ｐ”

（ｎｏｔ－ｐ）。

①D斯多亚派用一个词‘ι（即“非”

，“不”。

——译者注）

表示命题的否定。

J F L

-- 125

２。符号系统的说明A ３１

我的表示法的原则是将函子写在变元之前，用这种办法，我能够不用括弧。

我发明的、并从１９２９年起在我的逻辑论文中使用的这一套不用括弧的符号①，可用于数学，同样也可用于逻辑。

加法的结合律在原来的表示法中是这样写的：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）

，而且不能不用括弧来陈述。

然而如果你把函子＋写在它的变元之前，你得到：

（ａ＋ｂ）＋ｃ＝＋＋ａｂｃ以及ａ＋（ｂ＋ｃ）＝＋ａ＋ｂｃ。

结合律现在就可以不用括号而写出了：＋＋ａｂｃ＝＋ａ＋ｂｃ。

现在，我要解释一下有些用这种符号表示法写出的表达式。

一个三段论的符号表达式是易于了解的。

以Ｂａｒｂａｒａ式为例：如果所有ｂ是ｃ并且所有ａ是ｂ，则所有ａ是ｃ。

用符号写成：ＣＫＡｂｃ

Ａａｂ

Ａａｃ前提Ａｂｃ和Ａａｂ的合取式，即ＫＡｂｃ

Ａａｂ，是公式的前件，结论Ａａｃ是它的后件。

有些演绎理论的表达式是很复杂的。

如假言三段论如果（如果ｐ，则ｑ）

，那么［如果（如果ｑ，则ｒ）则（如果ｐ，则ｒ）

］的符号表达式写成：

①例如，见卢卡西维茨与塔斯基：“关于命题演算的研究”

，《华沙科学与文学学会会刊》，ｘｉ卷（１９３０年）

，第Ⅲ类，第３１—３２页。

-- 126

４１１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

Ｃｐｑ

Ｃｑｒ

Ｃｐｒ。

为了了解这个公式的结构，你们必须记住：Ｃ是直接在Ｃ之后的两个命题变元的函子。

这两个命题变元与Ｃ一起构成一个新的复杂命题表达式。

公式中的表达式Ｃｐｑ，Ｃｑｒ与Ｃｐｒ即属于这一类。

在它们每一个的周围画上括弧，就得到表达式：Ｃ（Ｃｐｑ）Ｃ（Ｃｑｒ）

（Ｃｐｒ）。

现在你们能够容易地看到Ｃ（Ｃｐｑ）是整个公式的前件，而其余的，即Ｃ（Ｃｑｒ）（Ｃｐｒ）是后件。

这个后件本身又是以（Ｃｑｒ）为前件和Ｃ（ｐｒ）为后件的。

以同样的方式我们可以分析所有其它表达式，如除了Ｃ之外还包含Ｎ和Ｋ的下面的例子：ＣＫｐｑｒＣＫＮｒｑＮｐ。

记住Ｋ与Ｃ一样也是两个变元的函子，而Ｎ是一个变元的函子。

使用不同种类的括弧我们得到表达式：Ｃ［Ｃ（Ｋｐｑ）

ｒ］｛Ｃ［Ｋ（Ｎｒ）ｑ］（Ｎｐ）

｝。

［Ｃ（Ｋｐｑ）

ｒ］在这里是整个公式的前件，而｛Ｃ［Ｋ（Ｎｒ）

ｑ］（Ｎｐ）

｝是后件，这个后件又有合取式［Ｋ（Ｎｒ）ｑ］为自己的前件以及否定式（Ｎｐ）为自己的后件。

２３。演绎理论A所有其它逻辑系统都建立于其上的那个最基本的逻辑系统乃是演绎理论。

因此每一个逻辑学家都应当知道这个系统，我在这里将对它作一简单描述。

根据什么函子被选择作为原始词项，演绎理论可以用几种不同方式加以公理化。

最简单的一种是按照弗莱格的方式。

-- 127

２３。演绎理论A ５１

他采用蕴涵与否定这两个函子作为原始词项，这在我们的符号系统中就是Ｃ和Ｎ。

这个Ｃ－Ｎ系统有很多组公理；其中最简单和几乎普遍赞许的一组，是我自己在１９２９年以前所发明的①。

它包含三条公理：Ｔ１。

ＣｐｑＣｑｒＣｐｒＴ２。

ＣＮｐＴ３。

ＣｐＣＮｐｑ。

第一条公理是已经在前面一节中解释过的假言三段论定律。

第二条公理，在文字上读作：“如果（如果非ｐ，则ｐ）

，那么ｐ“

，欧几里德曾用于一条数学定理的证明②。

我把它叫做克拉维乌斯定律，因为克拉维乌斯（一位博学的耶稣会士，生活于十六世纪后半期，西方新历——格列高里历法的创造人之一）

在注释欧几里德时首先注意到这个定律。

第三条公理在文字上就是“如果ｐ，那么如果非ｐ，则ｑ”

，就我所知，它第一次出现在据说是邓斯司各脱的关于亚里士多德的注释中；我W称之为邓斯司各脱定律③。

这条定律遏制着通常加之于矛盾W的诽谤：如果两个矛盾的语句，如α与Ｎα，同真，我们能够用这个定律从它们引出任意的命题ｑ，亦即无论任何命题。

属于这个系统的有两条推论规则：代入规则和分离规则。

代入规则允许我们从这系统里已断定的命题中，用一个

①第一次发表于用波兰文写的“论数理逻辑的重要性与必要性”

《波兰科学》（Ｎａｕｋａ

ｐｏｌｓｋａ）卷Ⅹ，华沙（１９２９年）第６１０—６１２页。

又参见本书第９８页注②所引用德文写的论文：命题６，第３５页。

②见前，第６７页。

③参看第６４页注所引用的我的论文。

-- 128

６１１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

同样的有意义的表达式替换其中每一个相同的变项，从而导出一个新的断定命题。

有意义的表达式用以下方式归纳地定义为：（ａ）任何命题变项是一个有意义的表达式；（ｂ）如果α是一个有意义的表达式的话，Ｎα也是一个有意义的表达式；（ｃ）

如果α和β都是有意义的表达式，则Ｃαβ也是有意义的表达式。

分离规则就是前面谈到过的斯多亚派的“肯定前件的假言推理”

：如果Ｃαβ这种类型的命题被断定为真，并且它的前件α也被断定为真，那么就可以允许断定它的后件β，而把它从蕴涵式中分离出来作为一个新的断定命题。

用这两条规则我们能从我们这组公理推导出所有ＣＮ系统的真断定命题。

在这个系统中，如果我们要有除Ｃ和Ｎ之外的其它的函子，如像Ｋ，我们必须用定义来引进它们。

这可以用两种不同方式来作到，如我将在Ｋ的例子中表明的那样。

合取式“ｐ并且ｑ”的意思犹如“（如果ｐ，则非ｑ）这不是真的”一样。

Ｋｐｑ与ＮＣｐＮｑ之间的这个联系可以表达于这个公式中：Ｋｐｑ＝ＮＣｐＮｑ，其中记号＝相当于文字“意思犹如……一样”。

这种定义需要一个特殊的推论规则，它允许我们用被定义项替换定义项，并且反之亦然。

或者我们可以用等值来表示Ｋｐｑ与ＮＣｐＮｑ之间的这个联系，但因为等值不是我们系统的原始词项，所以用两个彼此可以替换的蕴涵式来表示这个联系：

ＣＫｐｑＮＣｐＮｑ与ＣＮＣｐＮｑＫｐｑ。

在这个情况下就不需要特殊的定义规则。

我将使用第一种定

-- 129

２３。演绎理论A ７１

义。

现在让我们用一个例子来表明借助于推论规则如何能从公理引出新的断定命题。

我将从公理Ｔ１－Ｔ３推导出同一律Ｃｐ。

这一推导要求两次使用代入规则以及两次使用分离规则；它是这样进行的：

Ｔ１。

ｑＣＮｐｑ×ＣＴ３－Ｔ４]

Ｔ４。

ＣＮｐｑｒＣｐｒ

Ｔ４。

ｑｐ，ｒｐ×ＣＴ２－Ｔ５] ]

Ｔ５Ｃｐ。

第一行叫做“导出行”

（ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎａｌ

ｌｉｎｅ）。

它包含以×号相互隔开的两个部分。

第一部分，Ｔ１。

ｑＣＮｐｑ，意思是在Ｔ１中]ＣＮｐｑ应当代替ｑ。

由此代替所产生的断定命题为了节省篇幅而省略了。

它将是以下形式：（１）ＣＣｐＣＮｐｑＣＮｐｑｒＣｐｒ第二部分，ＣＴ３－Ｔ４，表明了这个省略了的断定命题是怎样构造的，使得分离规则可以应用于它这一点成为显然。

断定命题（１）以Ｃ开始，接着是公理Ｔ３作为它的前件，和断定命题Ｔ４

作为后件。

所以，我们可以把Ｔ４，分离出来作为一个新的断定命题。

在Ｔ５之前的导出行作同样的理解。

斜线（）

是替换的记]号，短线（—）是分离的记号。

几乎所有以后的推导都是以相同的方式进行的。

当一个人想要从公理Ｔ１－Ｔ３推导出交换律ＣＣｐＣｑｒＣCｑＣｐｒ，或者甚至推出简化律ＣｐＣｑｐ，那么，他在进行这样的证明时，必须非常熟练。

因此，我将说明一个容易的方法来验证我们系统中的表达式而不用从公理来推导它们。

这个方法

-- 130

８１１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

是美国逻辑学家查尔士Ｓ皮尔士在１８５年左右发明的。

它W基于所谓二值原则（ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ

ｏｆ

ｂｉｖａｌｅｎｃｅ）

，这就是把每一个命题看作或是真的或是假的，也就是说每一个命题具有两个可能的真值中的一个也仅仅一个：真或假。

这个原则一定不要与排中律相混淆，根据排中律，两个矛盾命题中的一个必定是真的。

二值原则曾被斯多亚派，特别是克里西普斯当作逻辑的基础来陈述①。

所有演绎理论的函项都是真值函项，亦即，它们的真假仅仅依靠它们的变元的真假。

让我们用０表示常假命题，用１表示常真命题。

我们可以用以下方式定义否定：

Ｎ０＝１与Ｎ１＝０这个意思是说：假命题的否定与真命题的意思是一样的（或简言之，是真的）

，而真命题的否定是假的。

对于蕴涵式我们有以下四条定义：

Ｃ０＝１，Ｃ０１＝１，Ｃ１０＝０，Ｃ１＝１。

这个意思是：一个蕴涵式仅当其前件真而后件假时，它才是假的；在所有其它情况下都是真的。

这是蕴涵式的最古老的定义，曾经由麦加拉的菲罗陈述并为斯多亚派采用②。

对于合取

①西塞罗，《学院研究前篇》ｉ。

９５，“辩论术的基础乃是所有的陈述（他们称之为α‘ιDωμα）或者是真的，或者是假的”

；《论命运》２１“这样，克里西普斯集\中全力于这个论证，即所有α‘ιDωμα或者是真的或者是假的”。

在斯多亚派的术语\中，α‘ιDωμα的意思是“命题”而不是“公理”。

\②塞克斯都恩披里可，《反数学家》ｖｉ。

１３，“菲罗说蕴涵式成为真的，当W其并非前件真而后件假时，所以蕴涵式本身在三种情况下是真的，而在一种情况下是假的。”

-- 131

２４。量　　词A ９１

式我们有四个明显的等式：

Ｋ０＝０，Ｋ０１＝０，Ｋ１０＝０，Ｋ１＝１。

一个合取式只有当它的变元都真时才是真的；在所有其它情况下它都是假的。

现在，如果我们要验证演绎理论的一个有意义的表达式，它包含函子Ｃ，Ｎ和Ｋ的全部或者其中的某些，我们就要用符号０与１的所有可能的排列去代替在这个表达式中出现的各个变项，并将这样得到的公式根据上面给出的等式加以推演。

如果在推演之后所有的公式最后都得出１，那么这个表达式就是真的或者是一个断定命题；如果其中之任一公式最后得出０，这个表达式就是假的。

让我们以易位律ＣＣｐｑＣＮｑＮｐ作为第一类的例子；我们得到：对于ｐ０，ｑ０：Ｃ０ＣＮ０Ｎ０＝Ｃ１Ｃ１＝Ｃ１＝１，]对于ｐ０，ｑ１：Ｃ０１ＣＮ１Ｎ０＝Ｃ１Ｃ０１＝Ｃ１＝１，]对于ｐ１

ｑ０：Ｃ１０ＣＮ０Ｎ１＝Ｃ０Ｃ１０＝Ｃ０＝１，]对于ｐ１

ｑ１：Ｃ１ＣＮ１Ｎ１＝Ｃ１Ｃ０＝Ｃ１＝１。

] ]因为对于所有的替换而言最后得出的都是１，所以易位律是我们系统的断定命题。

让我们举出表达式ＣＫｐＮｑｑ作为第二类的例子。

只要试一试一个替换就够了：

ｐ１，ｑ０：ＣＫ１Ｎ０＝ＣＫ１０＝Ｃ１０＝０。

]这个替换最后得出了０，所以表达式ＣＫｐＮｑｑ是假的。

在亚里士多德三段论系统中作为辅助前提使用的所有演绎理论的断定命题，我们都可以用同样的方法加以检查。

-- 132

０２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

２４。量词A亚里士多德没有量词的明确观念并且没有在他的著作中使用它们；因而我们不能把它们引入他的三段论系统。

但如我们所已经看到的，在他的系统中有两点，如果我们应用量词来解释的话，我们就能较好地理解它们。

全称量词与所谓“三段论的必然性”相联系，存在量词或特称量词与显示法证明相联系。

现在，我将把在第１９节述说的、用存在量词来作的证明以及在第５节提到的依赖全称量词的论证翻译为符号。

我用大写的希腊字母表示量词，用Ⅱ表示全称量词，而用后表示特称或存在量词。

Ⅱ可以读作“对于所有而言”

，^而可以读作“对于有些而言”或“有”

；例如ｃＫＡｃｂＡｃａ^的意思用语言说出来就是：“有一个ｃ使得所有ｃ是ｂ并且所有ｃ是ａ”

，或者更简短地说：“对于有些ｃ而言，所有ｃ是ｂ并且所有ｃ是ａ”。

每一个带量词的表达式，例如ｃＫＡｃｂＡｃａ，^包含三个部分：第一部分，在我们的例子中就是，总是一个^量词；第二部分，在这里就是ｃ，总是一个用前面的量词约束着的变项；第三部分，在这里就是ＫＡｃｂＡｃａ，总是一个命题表达式，它包含着恰好被量词当作自由变项约束起来了的变项。

由于把ｃ放在ＫＡｃｂＡｃａ之前，最后这个公式中的自由^变项ｃ就变成被约束的了。

我们可以简单地说：（第一部^分）约束ｃ（第二部分）于ＫＡｃｂＡｃａ（第三部分）之中。

存在量词的规则已经在第１９节中陈述过了。

在各导出行中，我用１表示允许我们把置于一个真蕴涵式的前件之前^ X的规则，并且２表示允许我们把置于一个真蕴涵式的后件^ X

-- 133

２４。量　　词A １２１

之前的规则。

以下的推导将是易于了解的。

因为它们都是第１９节中用文字作出的推导的翻译，相应的断定命题带有相同的番号（ｒｕｎｉｎｇ

ｎｕｍｂｅｒ）

，并且用相应的小写字母作为变项以代替大写字母。

Ｉ前提换位的证明：设定为真而不用证明的断定命题：（１）ＣＩａｂｃＫＡｃｂＡｃａ^（２）ＣｃＫＡｃｂＡｃａＩａｂ。

^断定命题（１）和（２）能用作Ⅰ前提的定义。

（３）ＣＫｐｑＫｑｐ（合取的交换律）

（３）ｐＡｃｂ，ｑＡｃａ×（４）

]（４）ＣＫＡｃｂＡｃａＫＡｃａＡｃｂ（４）２ｃ×（５）

^（５）ＣＫＡｃｂＡｃａｃＫＡｃａＡｃｂ^（５）１ｃ×（６）

^（６）ＣｃＫＡｃｂＡｃａｃＫＡｃａＡｃｂ^Ｔ１。

ＣｐｑＣｑｒＣｐｒ（假言三段论定律）

Ｔ１。

ｐＩａｂ，ｑｃＫＡｃｂＡｃａ，ｒｃＫＡｃａＡｃｂ×Ｃ] ^ ^（１）—Ｃ（６）—（７）

：（７）ＣＩａｂｃＫＡｃａＡｃｂ^（２）ｂａ，ａｂ×（８）

]（８）ＣｃＫＡｃａＡｃｂＩｂａ^Ｔ１。

ｐＩａｂ，ｑｃＫＡｃａＡｃｂ，ｒＩｂａ×Ｃ（７）—Ｃ] ^（８）—（９）

-- 134

２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

（９）ＣＩａｂＩｂａ这些推导行表明，（４）与（８）仅用替换而从其它断定命题得到，而（７）与（９）乃用替换与两次分离而得到。

读者可按这种方式自己试作Ｄａｒａｐｔｉ式的证明，它是容易的。

Ｂｏｃａｒｄｏ式的证明（第１９节所用的变项Ｐ、Ｒ和Ｓ必须改换字母，因为相应的小写字母ｐ，ｒ和ｓ是用以表示命题变项的，把ｐ改写为ｄ，Ｒ改为ａ，Ｓ改为ｂ）

不加证明而设定的断定命题：（１５）ＣＯｂｄｃＫＡｃｂＥｃｄ^两个三段论取作前提：（１６）ＣＫＡｃｂＡｂａＡｃａ（Ｂａｒｂａｒａ）

（１７）ＣＫＡｃａＥｃｄＯａｄ（Ｆｅｌａｐｔｏｎ）

Ｔ６。

ＣＫｐｑｒＣＫｒｓｔＣＫｐｑｓｔ这就是人们认为由亚里士多德发现的“综合定理”。

Ｔ６。

ｐＡｃｂ，ｑＡｂａ，ｒＡｃａ，ｓＥｃｄ，ｔＯａｄ×Ｃ]（１６）—Ｃ（１７）—（１８）

（１８）ＣＫＡｃｂＡｂａＥｃｄＯａｄＴ７。

ＣＫｐｑｒｓＣＫｐｒＣｑｓ（辅助断定命题）

Ｔ７。

ｐＡｃｄ，ｑＡｂａ，ｒＥｃｄ，ｓＯａｄ×Ｃ（１８）—]（１９）

（１９）ＣＫＡｃｂＥｃｄＣＡｂａＯａｄ（１９）１ｃ×（２０）

^（２０）ＣｃＫＡｃｂＥｃｄＣＡｂａＯａｄ^

-- 135

２４。量　　词A ３２１

Ｔ１。

ＣｐｑＣｑｒＣｐｒＴ１。

ｐＯｂｄ，ｑｃＫＡｃｂＥｃｄ，ｒＣＡｂａＯａｄ×Ｃ] ^（１５）—Ｃ（２０）—（２１）

（２１）ＣＯｂｄＣＡｂａＯａｄ这就是Ｂｏｃａｒｄｏ式的蕴涵形式。

如果我们希望有这个式的通常的合取形式，我们必须应用所谓输入律（ｌａｗ

ｏｆ

ｉｍｐｏｒCｔａｔｉｏｎ）

：Ｔ８。

ＣｐＣｑｒＣＫｐｑｒ于（２１）

，我们得到：

Ｔ８。

ｐＯｂｄ，ｑＡｂａ，ｒＯａｄ×Ｃ（２１）—（２）

]（２）ＣＫＯｂｄＡｂａＯａｄ（Ｂｏｃａｒｄｏ）。

用所谓输出律（ｌａｗ

ｏｆ

ｅｘｐｏｒｔａｔｉｏｎ）

Ｔ９。

ＣＫｐｑｒＣｐＣｑｒ。

（它是输入律的转换）

，我们可以从Ｂｏｃａｒｄｏ式的合取形式倒退回去得到它的蕴涵形式。

全称量词的规则与第１９节陈述的特称量词的规则是相似的。

全称量词能够无条件地放在真蕴涵式的前件的前面，以约束出现于前件中的自由变项。

只有满足这样的条件，即在后件中被约束的变项不在前件中作为自由变项出现时，才可以在真蕴涵式的后件之前加上全称量词。

我用１，表示这个规则_的头一条，用２表示第二条。

_从以上全称量词的原始规则，得到两条导出规则：第一，（从规则２及简化定律）

一个真表达式，在约束出现于其中的_自由变项时，允许把全称量词置于它的前面；第二，（从规则１及命题的同一律）

，允许消掉位于真表达式之前的全称X

-- 136

４２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

量词。

这些规则怎样可以导出，我将用Ⅰ前提的换位律为例来加以说明。

从换位律：（９）ＣＩａｂＩｂａ就得到量化了的表达式（２６）ａｂＣＩａｂＩｂａ`而从量化了的表达式（２６）又得到非量化的换位律（９）。

首先，从（９）到（２６）

Ｔ１０。

ＣｐＣｑｐ（简化定律）

Ｔ１０。

ｐＣＩａｂＩｂａ×Ｃ（９）—（２３）

]（２３）ＣｑＣＩａｂＩｂａ应用规则２于这个断定命题以约束ｂ并随后约束ａ，因为ｂ_与ａ都不在前件中出现：（２３）２ｂ×（２４）

`（２４）ＣｑｂＣＩａｂＩｂａ`（２４）２ａ×（２５）

`（２５）ＣｑａｂＣＩａｂＩｂａ`（２５）ｑＣｐＣｑ×ＣＴ１０－（２６）

]（２６）ａｂＣＩａｂＩｂａ`其次：从（２６）到（９）。

Ｔ５Ｃｐｐ（同一律）

Ｔ５。

ｐＣＩａｂＩｂａ×（２７）

]（２７）ＣＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ我们应用规则１于这个断定命题以约束ｂ并随后约束ａ：_（２７）１ｂ×（２８）

`

-- 137

２５。三段论系统的基本要素A ５２１

（２８）ＣｂＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ`（２８）１ａ×（２９）

`（２９）ＣａｂＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ`（２９）×Ｃ（２６）—（９）

（９）ＣＩａｂＩｂａ亚里士多德断定：“如果有些ａ是ｂ，那么，有些ｂ应是ａ就是必然的”

，依我看，“就是必然的”这表达词只能有这个意思：要找到变项ａ和ｂ的那样的值，它会确证前件而不能确证后件，那是不可能的。

换句话说，那就是指“对于所有ａ与所有ｂ而言，如果有些ａ是ｂ，则有些ｂ是ａ。”这就是我们的量化的断定命题（２６）。

这个断定命题与非量化的换位律“如果有些ａ是ｂ，则有些ｂ是ａ”

（它不包含必然性的记号）

是等值的，这是已经证明了的。

由于三段论的必然性是与全称量词等价的，所以它可以被省略，因为一个全称量词在真公式之前是可以省略的。

２５。三段论系统的基本要素A每一个公理化的演绎系统都以三项基本要素为基础：原始词项，公理，和推论规则。

我从对断定的表达式而言的基本要素开始，对排斥的表达式而言的基本要素将于以后给出。

我取常项Ａ和Ｉ为原始词项，用它们来定义其它两个常项Ｅ和Ｏ：

Ｄｆ１

Ｅａｂ＝ＮＩａｂ

ｆ２

Ｏａｂ＝ＮＡａｂ。

为了把证明缩短我将使用下面的两条推论规则来代替上述定

-- 138

６２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

义：规则ＲＥ：ＮＩ在任何地方均可用Ｅ去替换，反之亦然。

规则ＲＯ：ＮＡ在任何地方均可用Ｏ去替换，反之亦然。

当作公理来断定的这个系统的四条断定命题就是两条同一律和Ｂａｒｂａｒａ式及Ｄａｔｉｓｉ式：１。

Ａａ２。

Ｉａ３。

ＣＫＡｂｃＡａｂＡａｃ（Ｂａｒｂａｒａ）

４。

ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ（Ｄａｔｉｓｉ）。

除了规则ＲＥ与ＲＯ之外，我采用以下两条对于断定的表达式的推论规则：（ａ）代入规则：如果ａ是这一系统的一个断定的表达式，那么，用正确的代入从α得出的任何表达式也是一个断定的表达式。

唯一正确的代入是对词项变项ａ，ｂ，ｃ，代以其它的词项变项，如以ｂ代ａ。

（ｂ）分离规则：如果Ｃαβ与α都是这系统的断定的表达式，那么β也是断定的表达式。

我采取带有被定义的函子Ｋ的演绎理论的Ｃ—Ｎ系统，作为辅助理论。

命题变项可以代之以三段论的命题表达式，如Ａａｂ，Ｉａｃ，ＫＥｂｃＡａｂ，等等。

在所有以后的证明中（并且也对排斥的表达式）我将只用下面十四条用罗马数字指明的断定命题：Ⅰ。

ＣｐＣｑｐ（简化定律）

Ⅱ。

ＣｑｒＣｐｑＣｐｒ（假言三段论定律、第二个形式）

Ⅲ。

ＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ（分配律）

-- 139

２５。三段论系统的基本要素A ７２１

Ⅳ。

ＣｐＣＮｐｑ（邓斯司各脱定律）

WⅤ。

ＣＮｐｐ（克拉维乌斯定律）

Ⅵ。

ＣｐｑＣＮｑＮｐ（易位律）

Ⅶ。

ＣＫｐｑｒＣｐＣｑｒ（输出律）[奇+书+网]

Ⅷ。

ＣｐＣＫｐｑｒＣｑｒⅨ。

ＣｓｐＣＫｐｑｒＣＫｓｑｒⅩ。

ＣＫｐｑｒＣｓｑＣＫｐｓｒⅪ。

ＣｒｓＣＫｐｑｒＣＫｑｐｓＸＩ。

ＣＫｐｑｒＣＫｐＮｒＮｑＸＩ。

ＣＫｐｑｒＣＫＮｒｑＮｐＸＩＶ。

ＣＫｐＮｑＮｒＣＫｐｒｑ断定命题Ⅷ是输出律的一个形式，断定命题Ⅸ—Ⅺ都是复合的假言三段论定律，而Ⅻ—是复杂的易位律。

所有这些，用第２３节所说的０—１方法，都是易于验证的。

断定命题Ⅳ、Ⅴ与Ⅱ、Ⅲ一起给出全部Ｃ—Ｎ系统，但Ⅳ、Ⅴ只是对排斥的表达式的证明才是需要的。

公理１—４的系统是一致的，也就是说是无矛盾的。

无矛盾性的最容易的证明是把词项变项当作命题变项，以及把函项Ａ和Ｉ定义为常真（即令Ａａｂ＝Ｉａｂ＝ＫＣａＣｂ）

而作出的。

于是公理１—４作为演绎理论的断定命题都是真的，而且已知这演绎理论是无矛盾的，所以三段论系统也是无矛盾的。

我们系统的所有公理都是彼此独立的。

这一点的证明可以用演绎理论范围内的解释来作出。

在后面的解释中，词项变项作为命题变项处理。

公理１的独立性：取Ｋ代替Ａ，取Ｃ代替Ｉ，公理１就不

-- 140

８２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

能确证了，因为Ａａ＝Ｋａ，而Ｋａａ在ａ０时，得出０。

如同用]０—１方法所能看出的那样，其它公理均可确证。

公理２的独立性：取Ｃ代替Ａ，与Ｋ代替Ｉ，公理２就不能确证了，因为Ｉａ＝Ｋａ。

其它公理均可确证。

公理４的独立性：取Ｃ代替Ａ与Ｉ，公理４就不能确证了，因为ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ＝ＣＫＣｂｃＣｂａＣａｃ在ｂ０，ａ１，ｃ０时，它] ] ]得出０其它均可确证。

公理３的独立性：在只有０与１二值的演绎理论的基础上证明这条公理的独立性是不可能的。

我们必须引入第三个真值，令其为２，它可看作是代表真，亦即１的另一个符号。

对于第２３节所作出的Ｃ，Ｎ和Ｋ的诸等值式，我们还要加上下面这些公式：Ｃ０２＝Ｃ１２＝Ｃ２１＝Ｃ２＝１。

Ｃ２０＝０，Ｎ２＝０，Ｋ０２＝Ｋ２０＝０，Ｋ１２＝Ｋ２１＝Ｋ２＝１。

在这些条件下，所有Ｃ—Ｎ系统的断定命题都可确证，这能很容易地表明。

让我们现在把Ｉａｂ定义为常真的函项，亦即对于ａ与ｂ的所有的值而言，Ｉａｂ＝１，而把Ａａｂ定义为具有以下诸值的函项：Ａａ＝１，Ａ０１＝Ａ１２＝１，以及Ａ０２＝０（其余均无关）。

公理１，２与４都可确证，但从公理３用代入ｂ１，ｃ２，ａ０我们得]到：ＣＫＡ１２Ａ０１Ａ０２＝ＣＫ１０＝Ｃ１０＝０。

用在自然数域的解释来作独立性的证明也是可能的。

例如，我们要证明公理３独立于其余公理，我们能够把Ａａｂ定义为ａ＋１ｂ，而把Ｉａｂ定义为ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，Ｉａｂ是常真的，因而，

-- 141

２６。三段论的断定命题的推导A ９２１

公理２与４确证了，公理１也确证了，因为ａ＋１总是不同于ａ的。

但公理３，即“如果ｂ＋１ｃ并且ａ＋１ｂ，则ａ＋１Ｃ”

a就不能确证。

取３替ａ，２替ｂ，以及４替ｃ，则前提将会是真的，而结论是假的。

从以上的独立性证明得出：没有三段论的单个的公理或“原则”。

１—４这四条公理可以机械地用“并且”

这个字联结成为一个命题，但是它们在这个没有有机联系的合取式中，仍然保留着差别而并不代表一个单个的观念。

２６。三段论的断定命题的推导A用我们的推论规则以及借助于演绎理论从公理１—４我们能够引出亚里士多德逻辑的所有断定命题。

我希望在作了前面几节的解释之后，以后的证明就会是完全可以理解的。

在所有三段论的式中，大项用ｃ表示，中项用ｂ表示，小项用ａ表示。

大前提首先陈述，以便易于将公式与各式的传统名称相比较①。

Ａ。换位定律Ⅶ。

ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ４—５] ] ]５。

ＣＡｂｃＣＩｂａＩａｃ５。

ｂａ，ｃａ，ａｂ×Ｃ１—６]①在１９２９年出版的我的波兰文教科书《数理逻辑初步》（Ｅｌｅｍｅｎｔｓ

ｏｆ

ｍａｔｈｅ－ｍａｔｉｃａｌｏｇｉｃ）

（见第６２页，注①）中，我第一次表明已知的三段论的断定命题怎样可以从公理１—４形式地推出（第１８０—１９０页）。

在上述教科书中说明的方法，由Ｉ。

Ｍ。

波亨斯基教授在他的论文“论直言三段论”

中稍作修改后加以采纳。

见《多明尼卡研究》（Ｄｏｍｉｎｉｃａｎ

ｓｔｕｄｉｅｓ）卷ｉ，牛津１９４８年版。

-- 142

０３１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

６。

ＣＩａｂＩｂａ（Ｉ前提的换位律）

Ⅲ。

ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ５７] C７。

ＣＩｂａＣＡｂｃＩａｃ７。

ｂａ，ｃｂ×Ｃ２—８]８。

ＣＡａｂＩａｂ（肯定前提的从属律）

Ⅱ。

ｑＩａｂ，ｒＩｂａ×Ｃ６—９] ]９。

ＣｐＩａｂＣｐＩｂａ９。

ｐＡａｂ×Ｃ８—１０]１０。

ＣＡａｂＩｂａ（Ａ前提的换位律）

６。

ａｂ，ｂａ×１]１。

ＣＩｂａＩａｂⅥ。

ｐＩｂａ，ｑＩａｂ×Ｃ１—１２] ]１２。

ＣＮＩａｂＮＩｂａ１２。

ＲＥ×１３１３。

ＣＥａｂＥｂａ（Ｅ前提的换位律）

Ⅵ。

ｐＡａｂ，ｑＩａｂ×Ｃ８—１４] ]１４。

ＣＮＩａｂＮＡａｂ１４。

ＲＥ，ＲＯ×１５１５。

ＣＥａｂＯａｂ（否定前提的从属律）

Ｂ。肯定式Ⅹ。

ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ４—１６]１６。

ＣｓＩｂａＣＫＡｂｃｓＩａｃ１６。

ｓＩａｂ×Ｃ６—１７]１７。

ＣＫＡｂｃＩａｂＩａｃ（Ｄａｒｉ）

１６。

ｓＡａｂ×Ｃ１０—１８]

-- 143

２６。三段论的断定命题的推导A １３１

１８。

ＣＫＡｂｃＡａｂＩａｃ（Ｂａｒｂａｒｉ）

８。

ａｂ，ｂａ×１９]１９。

ＣＡｂａＩｂａ１６。

ｓＡｂａ×Ｃ１９—２０]２０。

ＣＫＡｂｃＡｂａＩａｃ（Ｄａｒａｐｔｉ）

Ⅺ。

ｒＩｂａ，ｓＩａｂ×Ｃ１—２１] ]２１。

ＣＫｐｑＩｂａＣＫｑｐＩａｂ４。

ｃａ，ａｃ×２]２。

ＣＫＡｂａＩｂｃＩｃａ２１。

ｐＡｂａ，ｑＩｂｃ，ｂｃ×Ｃ２—２３]２３。

ＣＫＩｂｃＡｂａＩａｃ（Ｄｉｓａｍｉｓ）

１７。

ｃａ，ａｃ×２４] ]２４。

ＣＫＡｂａＩｃｂＩｃａ２１。

ｐＡｂａ，ｑＩｃｂ，ｂｃ×Ｃ２４—２５]２５。

ＣＫＩｃｂＡｂａＩａｃ（Ｄｉｍａｒｉｓ）

１８。

ｃａ，ａｃ×２６] ]２６。

ＣＫＡｂａＡｃｂＩｃａ２１。

ｐＡｂａ，ｑＡｃｂ，ｂｃ×Ｃ２６—２７] ] ]２７。

ＣＫＡｃｂＡｂａＩａｃ（Ｂｒａｍａｎｔｉｐ）

Ｃ。否定式

ＸＩ。

ｐＩｂｃ，ｑＡｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ２３—２８]２８。

ＣＫＮＩａｃＡｂａＮＩｂｃ２８。

ＲＥ×２９２９。

ＣＫＥａｃＡｂａＥｂｃ２９。

ａｂ，ｂａ×３０]

-- 144

２３１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

３０。

ＣＫＥｂｃＡａｂＥａｃ（Ｃｅｌａｒｅｎｔ）

Ⅸ。

ｓＥａｂ，ｐＥｂａ×Ｃ１３—３１]３１。

ＣＫＥｂａｑｒＣＫＥａｂｑｒ３１。

ａｃ，ｑＡａｂ，ｒＥａｃ×Ｃ３０—３２]３２。

ＣＫＥｃｂＡａｂＥａｃ（Ｃｅｓａｒｅ）

Ⅺ。

ｒＥａｂ，ｓＥｂａ×Ｃ１３—３３] ]３。

ＣＫｐｑＥａｂＣＫｑｐＥｂａ３２。

ｃａ，ａｃ×３４]３４。

ＣＫＥａｂＡｃｂＥｃａ３。

ｐＥａｂ，ｑＡｃｂ，ａｃ，ｂａ×Ｃ３４—３５]３５。

ＣＫＡｃｂＥａｂＥａｃ（Ｃａｍｅｓｔｒｅｓ）

３０。

ｃａ，ａｃ×３６] ]３６。

ＣＫＥｂａＡｃｂＥｃａ３。

ｐＥｂａ，ｑＡｃｂ，ａｃ，ｂａ×Ｃ３６—３７]３７。

ＣＫＡｃｂＥｂａＥａｃ（Ｃａｍｅｎｅｓ）

Ⅱ。

ｑＥａｂ，ｒＯａｂ×Ｃ１５—３８] ]３８。

ＣｐＥａｂＣｐＯａｂ３８。

ｐＫＥｂｃＡａｂ，ｂｃ×Ｃ３０—３９] ]３９。

ＣＫＥｂｃＡａｂＯａｃ（Ｃｅｌａｒｏｎｔ）

３８。

ｐＫＥｃｂＡａｂ，ｂｃ×Ｃ３２—４０]４０。

ＣＫＥｃｂＡａｂＯａｃ（Ｃｅｓａｒｏ）

３８。

ｐＫＡｃｂＥａｂ，ｂｃ×Ｃ３５—４１] ]４１。

ＣＫＡｃｂＥａｂＯａｃ（Ｃａｍｅｓｔｒｏｐ）

３８。

ｐＫＡｃｂＥｂａ，ｂｃ×Ｃ３７—４２]４２。

ＣＫＡｃｂＥｂａＯａｃ（Ｃａｍｅｎｏｐ）

-- 145

２６。三段论的断定命题的推导A ３３１

ＸＩ。

ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ５—４３]４３。

ＣＫＮＩａｃＩｂａＮＡｂｃ４３。

ＲＥ，ＲＯ×４。

ＣＫＥａｃＩｂａＯｂｃ４。

ａｂ，ｂａ×４５] ]４５。

ＣＫＥｂｃＩａｂＯａｃ（Ｆｅｒｉｏ）

３１。

ａｃ，ｑＩａｂ，ｒＯａｃ×Ｃ４５—４６]４６。

ＣＫＥｃｂＩａｂＯａｃ（Ｆｅｓｔｉｎｏ）

Ⅹ。

ｐＥｂｃ，ｑＩａｂ，ｒＯａｃ×Ｃ４５—４７]４７。

ＣｓＩａｂＣＫＥｂｃｓＯａｃ４７。

ｓＩｂａ×Ｃ１—４８]４８。

ＣＫＥｂｃＩｂａＯａｃ（Ｆｅｒｉｓｏｎ）

３１。

ａｃ，ｑＩｂａ，ｒＯａｃ×Ｃ４８—４９]４９。

ＣＫＥｃｂＩｂａＯａｃ（Ｆｒｅｓｉｓｏｎ）

１０。

ａｂ，ｂａ×５０]５０。

ＣＡｂａＩａｂ４７。

ｓＡｂａ×Ｃ５０—５１]５１。

ＣＫＥｂｃＡｂａＯａｃ（Ｆｅｌａｐｔｏｎ）

３１。

ａｃ，ｑＡｂａ，ｒＯａｃ×Ｃ５１—５２] ] ]５２。

ＣＫＥｃｂＡｂａＯａｃ（Ｆｅｓａｐｏ）

作为所有这些推导的一个结果，一个显著的事实值得我们注意：有二十个三段论的式勿需使用公理３，即Ｂａｒｂａｒａ式，就可能推导出来。

甚至Ｂａｒｂａｒｉ也可以不用Ｂａｒｂａｒａ式而得到证明。

公理３是三段论系统的最重要的断定命题，因为它是唯一能产生全称肯定结论的三段论，但在简单三段论系统中它

-- 146

４３１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

只有次等的地位，只有在证明Ｂａｒｏｃｏ与Ｂｏｃａｒｄｏ式时，才是必需的。

以下就是这两个证明：Ⅻ。

ｐＡｂｃ，ｑＡａｂ，ｒＡａｃ×Ｃ３—５３]５３。

ＣＫＡｂｃＮＡａｃＮＡａｂ５３。

ＲＯ×５４５４。

ＣＫＡｂｃＯａｃＯａｂ５４。

ｂｃ，ｃｂ×５]５。

ＣＫＡｃｂＯａｂＯａｃ（Ｂａｒｏｃｏ）

ＸＩ。

ｐＡｂｃ，ｑＡａｂ，ｒＡａｃ×Ｃ３—５６]５６。

ＣＫＮＡａｃＡａｂＮＡｂｃ５６。

ＲＯ×５７５７。

ＣＫＯａｃＡａｂＯｂｃ５７。

ａｂ，ｂａ×５８]５８。

ＣＫＯｂｃＡｂａＯａｃ（Ｂｏｃａｒｄｏ）

２７。排斥的表达式的公理和规则A关于断定一个命题和排斥一个命题这两种智力活动，①

现代形式逻辑只就第一种加以考虑。

弗莱格把断定的概念和断定符号（）引进了逻辑，它们在以后又得到《数学原b理》的作者们的承认。

然而，就我所知，排斥的概念，从过去到现在一直都被忽略了。

我们断定真命题而排斥假命题。

只有真命题才能加以断

①我把这个区别归功于弗朗茨布伦塔诺（Ｆｒａｎｚ

Ｂｒｅｎｔａｎｏ）

，他把信赖的W活动描述为承认（ａｎｅｒｋｅｎｅｎ）与排斥（ｖｅｒｗｅｒｆｅｎ）。

-- 147

２７。排斥的表达式的公理和规则A ５３１

定，因为断定一个原来不真的命题就是一个错误。

关于排斥则不能作类似性质的断定：并非只有假命题才应加以排斥。

每一个命题或真或假，这当然是真的，但也有既不真也不假的命题表达式。

所谓命题函项就是属于这一类的。

命题函项就是包含着自由变项的表达式，对于它们的有些值而言，它可以成为真的，而对于另外一些值而言，它可以成为假的。

以ｐ这个命题变项为例，它既不是真的，也不是假的，因为，对ｐ１它]就成为真的，而对ｐ０它就成为假的了。

现在，关于两个矛盾]命题，ａ与非ａ，一个必定是真的而另一个必是假的，所以一个应当被断定而另一个应被排斥。

但是两个矛盾的命题函项ｐ与Ｎｐ中的任何一个都不能加以断定，因为它们之中的任何一个都不是真的；它们两者都要被排斥。

被亚里士多德排斥的三段论形式都不是命题而是命题函项。

让我们举一个例子。

亚里士多德说，在第一格中当第一个词项属于所有中项，而不属于任何最后的词项时，就不会出现任何三段论。

所以这个三段论形式：（ｉ）ＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ没有被他作为正确的三段论来断定，而是加以排斥。

亚里士多德本人提出具体的词项来反驳上述形式：用“人”代ｂ，“动物”代ｃ，以及“石头”代ａ。

但还有其它的值使得公式（ｉ）能被确证：把变项ａ与ｃ等同起来我们就可以得到一个真蕴涵式ＣＫＡｂａＥａｂＩａ，因为它的前提是假的而其后件是真的。

公式（ｉ）的否定：（ｊ）ＮＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ因此也必须被排斥，因为对于ｃａ它是假的。

]

-- 148

６３１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

把量词引入这个系统我们就能勿需要排斥。

我们能够断定下面的断定命题以代替对形式（ｉ）的排斥。

（ｋ）ａｂｃＮＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ。

^这个就是说：有词项ａ，ｂ和ｃ确证（ｉ）的否定。

所以，（ｉ）这形式对于所有ａ，ｂ和ｃ不是真的，而且不能是正确的三段论。

同样，代替对表达式（ｊ）的排斥，我们可以断定这个断定命题：（１）ａｂｃＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ^但亚里士多德不知道有关量词的任何东西；他使用排斥来代替将带量词的新断定命题加在他的系统中。

因为，排斥似乎是比量化较为简单的概念，让我们随着亚里士多德的步骤来考察。

亚里士多德排斥绝大多数的不正确的三段论形式都是用具体词项来举例说明。

这是我们唯一不能追随他的地方，因为我们不能把像“人”或“动物”这样的具体词项引入逻辑中来。

有些形式必须公理地加以排斥。

我曾发现①如果我们公理地排斥第二格的以下两个式：ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ，那么借助于两条排斥的规则也可以排斥所有其它不正确的三段论形式：（ｃ）排斥的分离规则：如果蕴涵式“如果α，则β”被断定了，但后件β被排斥，那么前件α必定也要被排

①见第２０节。

-- 149

２７。排斥的表达式的公理和规则A ７３１

斥。

（ｄ）

排斥的代入规则：如果β是α的一个代入，而且β被排斥了，那么α也必定要被排斥。

两条规则都是十分明显的。

三段论形式的数目一共是４×４３＝２５６；２４个形式是正确的三段论，２个形式是公理地排斥了的。

证明其余２３０个不正确的形式都可以用我们的公理和规则来排斥，那将是冗长而可厌的。

我将只用带有前提Ａｂｃ和Ｅａｂ的第一格三段论形式的例子来表明，我们的排斥规则如何在第一条排斥的公理的基础上进行证明。

排斥的表达式我用一个星号加在它们的序数之前来表示。

这样，我们有：

P５９。

ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ（公理）

P５９ａ。

ＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ（公理）

Ｉ。

ｐＩａｃ，ｑＫＡｃｂＡａｂ×６０] ]６０。

ＣＩａｃＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ６０×ＣP６１—P５９P６１。

Ｉａｃ这里第一次应用了排斥的分离规则。

断定的蕴涵式６０有一个排斥的后件，P５９；所以它的前件，P６１，必定也被排斥。

用同样的方法我得到排斥的表达式P６４，P６７，P７１，P７４，和P７。

Ⅴ。

ｐＩａｃ×６２]６２。

ＣＮＩａｃＩａｃＩａｃ６２。

ＲＥ×６３

-- 150

８３１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

６３。

ＣＥａｃＩａｃＩａｃ６３×ＣP６４—P６１P６４ＣＥａｃＩａｃ１。

ａｃ×６５]６５。

ＡｃⅧ。

ｐＡｃ，ｑＥａｃ，ｒＩａｃ×Ｃ６５—６６] ] ]６。

ＣＫＡｃＥａｃＩａｃＣＥａｃＩａｃ６×ＣP６７—P６４P６７。

ＣＫＡｃＥａｃＩａｃ

P６７×P６８。

ｂｃ] P６８。

ＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ这里应用了排斥的代入规则。

表达式P６８必须被排斥，因为在P６８中用ｃ替代ｂ，我们就得到排斥的表达式P６７。

这个同样的规则也用以得出P７５。

Ⅱ。

ｑＡａｂ，ｒＩａｂ×Ｃ８—６９]６９。

ＣｐＡａｂＣｐＩａｂ６９。

ｐＫＡｂｃＥａｂ，ｂｃ×７０] ]７０。

ＣＫＡｂｃＥａｂＡａｃＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ７０×ＣP７１—P６８P７１。

ＣＫＡｂｃＥａｂＡａｃＸＩＶ。

ｐＡｃｂ，ｑＩａｃ，ｒＡａｂ×７２]７２。

ＣＫＡｃｂＮＩａｃＮＡａｂＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ７２。

ＲＥ，ＲＯ×７３７３。

ＣＫＡｃｂＥａｃＯａｂＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ７３×ＣP７４—P５９

-- 151

２８。我们的公理和规则不充分A ９３１

P７４。

ＣＫＡｃｂＥａｃＯａｂ

P７４×P７５。

ｂｃ

ｃｂ] P７５。

ＣＫＡｂｃＥａｂＯａｃ３８。

ｐＫＡｂｃＥａｂ，ｂｃ×７６]７６。

ＣＫＡｂｃＥａｂＥａｃＣＫＡｂｃＥａｂＯａｃ７６×ＣP７７—P７５P７。

ＣＫＡｂｃＥａｂＥａｃ排斥的表达式P６８，P７１，P７５与P７７是带有前提Ａｂｃ与Ｅａｂ的第一格的四个可能的形式。

在第一格中，从这些前提不能得出任何正确的结论。

用同样的方法，在两条公理地排斥的形式的基础上，我们能够证明所有四个格中的一切其它不正确的三段论形式也必定被排斥。

２８。我们的公理和规则不充分A用我们的公理和断定规则来证明亚里士多德逻辑的所有已知断定命题，以及用我们的公理和排斥规则来反驳所有不正确的三段论形式，虽然都是可能的，结果仍然远远不能令人满意。

理由在于：在亚里士多德逻辑中，除了三段论的形式外，还有其它许多有意义的表达式。

实际上它们是无穷的，以致于我们不能确信这个三段论系统的所有真表达式是否都能从我们的公理和规则的系统中推导出来，而所有的假表达式是否都能被排斥。

事实上，要找出一个用我们的公理和排斥规则不能排斥的假表达式，是容易的。

例如，那样的表达式有：（Ｆ１）ＣＩａｂＣＮＡａｂＡｂａ它的意思是：“如果有些ａ是ｂ，那么如果并非所有ａ是ｂ，则

-- 152

０４１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

所有ｂ是ａ“。

这个表达式在亚里士多德逻辑中不是真的，而且不能用断定的公理来证明，但它与这些公理是不矛盾的，把它加在公理之中，并不推出任何不正确的三段论形式。

我们来考虑一下如此扩展的这个三段论的系统是值得的。

从亚里士多德的逻辑定律：８。

ＣＡａｂＩａｂ与５０。

ＣＡｂａＩａｂ以及演绎理论定律：（ｍ）ＣＣｐｒＣｑｒＣＮｐｑｒ我们能够得出下面的新断定命题７８：（ｍ）ｐＡａｂ

ｑＡｂａ，ｒＩａｂ×Ｃ８—Ｃ５０—７８]７８。

ＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ。

这个断定命题是（Ｆ１）的换位蕴涵式，它与（Ｆ１）一起给出一个等值式。

在这个等值式的基础上，我们可以用函子Ａ定义函子Ｉ：（Ｆ２）

Ｉａｂ＝ＣＮＡａｂＡｂａ。

这个定义读作：“‘有些ａ是ｂ’的意思同于‘如果并非所有ａ是ｂ，则所有ｂ是ａ。

‘“因为表达式”如果非ｐ，则ｑ“与另一表达式”或者ｐ或者ｑ“是等值的，我们也能够说：”’有些ａ是ｂ‘，的意思同于’或者所有ａ是ｂ或者所有ｂ是ａ。

‘“

现在，容易在所谓“欧拉圈”

（Ｅｕｌｅｒｉａｎ

Ｃｉｒｃｌｅｓ）中找到这个扩展系统的一个解释。

如同在通常解释中一样，用圆圈代表词项ａ，ｂ，ｃ，但是在任何两个圆圈都不会彼此相交的条件下，公理１—４得到确证，而形式P５９ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ与５９ａＣＫCＥｃｂＥａｂＩａｃ遭到排斥，因为可能划出两个圆圈彼此位于对方

-- 153

２８。我们的公理和规则不充分A １４１

之外而又都包含于第三个圆圈之中，这就驳倒了形式ＣＫＡｃｂ－ＡａｂＩａｃ，并且又可能划出三个圆圈，它们每一个都独立于其它两个圆圈，这就驳倒了形式ＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ。

于是亚里士多德逻辑的所有定律都得到确证，而所有不正确的三段论形式都被排斥。

然而，这个系统不同于亚里士多德三段论系统，因为公式（Ｆ１）是假的，如我们从以下例子中能够看出：“有些偶数可被３整除”是真的，但是不论是“所有偶数都可以被３整除”还是“凡被３整除的数都是偶数”都不是真的。

从这个考虑可以得出结论，我们的公理和规则的系统不是范畴的（Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ）

①，即并非我们系统的任何解释都确证并否证（Ｖｅｒｉｆｙ

ａｎｄ

ｆａｌｓｉｆｙ）

同一个公式或者都是同构的（ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ）。

刚才说明的这一解释确证了（Ｆ１）

，而（Ｆ１）是没有被亚里士多德逻辑确证的。

所以，对于作出亚里士多德逻辑的全面和精确的描述来说，我们的公理和规则系统是不充分的。

为了排除这个困难，我们可以把表达式（Ｆ１）

作为公理来排斥。

但是这个药方是否有效，也还是个疑问；还可以有其它的与（Ｆ１）同一类的公式，甚至无数的这种公式。

问题是要为亚里士多德三段论系统找到一个公理和规则的系统，使得对于该三段论系统来说，我们能够判定所给出的其中任何有意

①一公理系统是范畴的，如果它具有一个模型，而且它的一切模型是彼此同构的。

一个公理系统的两个模型称之为同构的，如果在这两个模型中所使用的个体的两个域之间有着一一对应的关系。

参看阿隆若丘尔其：《数理逻辑导论》W（Ａｌｏｎｚｏ

Ｃｈｕｒ－ｃｈ：“Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

ｔｏｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ

Ｌｏｇｉｃ“）

，１９５６版，卷１，第３２９—３３０页。

——译者注

-- 154

２４１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

义的表达式是否应被断定或被排斥。

这个最重要的判定问题将于下一章讨论。

-- 155