第三章 亚里士多德三段论系统
１５。
完全的和不完全的三段论A亚里士多德在三段论理论的绪论性的那一章中，将所有三段论分为完全的和不完全的两大类。
他说：“我称之为完全的三段论的，是那些除了已经陈述的东西之外不需要其它什么来使得必然性成为显然的三段论；如果它还需要根据诸词项的规定是必要的但未曾由前提陈述出来的一个或更多个成分，我就称之为不完全的三段论。”
①这一段需要翻译成逻辑术语。
每一个亚里士多德式三段论是一个真蕴涵式，它的前件是联合的前提，而后件是结论。
因此，亚里士多德所说的意思是，在完全的三段论中，前提和结论之间的联系是自明的而不用外加的命题。
完全的三段论是自明的语句，它不拥有也不需要证明；它们是不可能证明的（ｉｎｄｅｍｏｎｓｔｒａｂｌｅ
α‘απDσιι②）。
F J M G H J①《前分析篇》ｉ。
１，２４ｂ２，“我称之完全的三段论的，是那些除了已经陈述的东西之外不需要其它什么来使必然地得出的东西成为显然的；如果还需要一个或更多的命题，这些命题的确是已设定的词项的必然条件，但未曾明显地作为前提陈述出来，我就称之为不完全的三段论。”
②亚历山大在注释上面这一段时，使用了α‘απVσιｓ（不能证明的）这个F J M G E J词。
２４。
２“那些不完全的三段论需要有一个附加的命题，它们仅仅需要一次变换，以便它们获得一个完全的和不能证明的第一格三段论的形式；那些需要附加几个命题的三段论，化为完全的三段论要利用两次变换。”又参看第３９页，注②。
-- 79
１５。
完全的和不完全的三段论A ７６
演绎系统的不可证明的真语句，现在叫做公理。
因此，完全的三段论都是三段论的公理。
另一方面，不完全的三段论并不是自明的；它们必须借助于由前提所得出的、但又是与前提本身不同的一个或更多个命题来证明。
亚里士多德知道并非所有真命题都可证明①。
他说，一个具有“Ａ属于Ｂ”
形式的命题是可证明的，如果存在着一个中项，即一个与Ａ和Ｂ一起构成一个正确三段论的前提的词项，而以上述“Ａ属于Ｂ”这个命题作为结论。
如果这样的一个中项并不存在，这个命题就叫做“直接的”
（α‘Dμ∈σｓ）
，也J就是说，没有一个中项。
直接命题是不能证明的，它们是基本真理（ｂａｓｉｃｔｒｕｔｈｓα‘ραιD）
②见于《后分析篇》的这些陈述，L还可以用《前分析篇》的一段加以补充。
它说：每一个证明与每一个三段论必须借助于三段论的三个格来构成。
③
亚里士多德的这个证明理论有一个根本的破绽：它假定所有问题都能用四种三段论的前提来表达，从而直言三段论就是唯一的证明工具。
亚里士多德并没有意识到他自己的三段论理论就是反对这个设想的一个实例。
三段论的各个式，作为蕴涵式，都是与三段论前提不同的另一类命题，然而它们
①《后分析篇》ｉ。
３，７２ｂ１８，“我自己的理论是：并非所有知识都是证明的，相反，直接的前提是不依赖于证明的。”
②《后分析篇》ｉ。
２３，８４ｂ１９，“这也是明显的，当Ａ属于Ｂ时，如果有一个中项，那么就能够加以证明，……如果没有任何中项，证明就不再是可能的了：我们面临的是基本真理。”
③《前分析篇》ｉ。
２３，４１ｂ１，“每一个证明与每一个三段论必须借助于上面所说的三个格来构成。”
-- 80
８６第三章 亚里士多德三段论系统
都是真的命题，而且如果它们的任何一个不是自明的和不可证明的，它就需要一个证明来建立它的真理性。
这个证明，无论如何不能由直言三段论来作，因为一个蕴涵式既没有主项也没有谓项。
而在不存在的端项之间来寻求中项当然是无济于事的。
这也许是亚里士多德在其三段论的格的学说中使用一套特别的术语的下意识的原因。
他不说“公理”或“基本真理”而说“完全的三段论，”也不说“论证”或“证明”不完全的三段论，而说把它们“化归”
（ｒｅｄｕｃｅｓα‘αDγ∈ια’αD∈F Q Fι）为完全的。
这套不适当的术语的影响至今还存在。
凯因斯在他的《形式逻辑》一书中为此花了一整节的篇幅，题为“化归法是三段论学说的本质部分吗？”
并且得出结论：“就建立不同的式的正确性而言，化归法并不是三段论学说的一个必要的部分。”
①这个结论不能用于亚里士多德的三段论理论，因为这个理论是一个公理化的演绎系统，而其它三段论的式化归为第一格的式，这也就是用公理证明它们为定理，乃是这个系统的一个不可缺少的部分。
亚里士多德承认第一格的各式即Ｂａｒｂａｒａ，Ｃｅｌａｒｅｎｔ，Ｄａｒｉ和Ｆｅｒｉｏ为完全三段论。
②而在他的系统阐述的最后一章，他又将第三和第四式化归为头两个式，从而将最清楚明白的三段论Ｂａｒｂａｒａ和Ｃｅｌａｒｅｎｔ作为他的理论的公理。
③这
①所引书第３２５—３２７页。
②在包含有第一格的各个式的第四章的结尾处，亚里士多德说（见《前分析篇》ｉ。
４，２６ｂ２９）
，“这也是显然的，这个格中的所有三段论都是完全的。”
③同上，２９ｂ１，“把所有三段论化归为第一格的全称三段论也是可能的。”
-- 81
１５。
完全的和不完全的三段论A ９６
个细节是不无兴趣的。
现代形式逻辑倾向于将一个演绎理论中的公理的数目简化到最少限度，而这个倾向在亚里士多德的著作中有了它的最初的表现。
当亚里士多德说只有两个三段论需要作为公理来建立其全部三段论理论时，他是对的。
然而，他忽略了他把不完全的式化归为完全的式时所用的换位律（ｌａｗ
ｏｆ
ｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ）
，也属于他的理论而且不能由三段论加以证明。
在《前分析篇》中提到三条换位律：Ｅ前提、Ａ前提和Ⅰ前提的换位。
亚里士多德证明这些定律中的第一条时，使用他所谓的显示法（ｅｃCｔｈｅｓｉｓ）
，我们随后即将看到，它需要一个在三段论范围之外的逻辑过程。
因为它不能用别的方法加以证明，它必须被陈述为这个系统的一个新的公理。
Ａ前提的换位是由一条属于逻辑方阵的断定命题来证明的，而它在《前分析篇》中并未提到，因此，我们必须把这条换位定律或者这条定律由之产生的逻辑方阵的断定命题承认为第四个公理，只有Ⅰ前提的换位定律能够不用新的公理而加以证明。
还有两个断定命题必须加以考虑，尽管它们之中的任何一个均不曾为亚里士多德明白陈述，这就是同一律：“Ａ属于所有的Ａ”及“Ａ属于有些Ａ”。
第一条定律是独立于所有其它三段论的断定命题的。
如果在这个系统中我们需要有这条定律，我们必须在公理的意义上承认它。
第二条同一律能从第一条推导出来。
现代形式逻辑在一个演绎系统中不仅区分原始的和导出的命题，而且也区分原始的和定义的词项。
亚里士多德三段论系统的常项是四种关系：“属于所有的”或Ａ，“属于无一
-- 82
０７第三章 亚里士多德三段论系统
的“或Ｅ，”属于有些“或Ⅰ，以及”不属于有些“或Ｏ。
其中的两个可由另外的两个用命题否定的办法定义如下：“Ａ不属于有些Ｂ”与“Ａ属于所有Ｂ并非真的”意思是一样的，而“Ａ属于无一Ｂ”
与“Ａ属于有些Ｂ并非真的”
意思是一样的。
同样地，Ａ能由Ｏ定义，Ⅰ能由Ｅ定义。
亚里士多德并没有把这些定义引进它的系统，但他直观地使用它们作为他的证明的论据。
让我们引用Ⅰ前提换位的证明作为唯一的例子。
它说：“如果Ａ属于有些Ｂ，那么Ｂ必属于有些Ａ。
因为如果Ｂ应属于无一Ａ，Ａ就属于无一Ｂ。“
①很明显，在这个间接证明中，亚里士多德把“Ｂ属于有些Ａ”的否定看作与“Ｅ属于无一Ａ”等价。
至于对另一对，Ａ与Ｏ，亚历山大明白地说，短语“不属于有些”与“不属于所有”仅仅字面不同，而有等价的意义。
②
如果我们认定关系Ａ与Ⅰ为此系统的原始词项，用它们来定义Ｅ与Ｏ，那么，如我多年前曾说过的，③我们可以在以下四条公理之上建立亚里士多德的全部三段论理论：１。
Ａ属于所有的Ａ。
２。
Ａ属于有些Ａ。
①《前分析篇ｉ。
２，２５ａ２０，〔希腊文原文据Ｗ。
Ｄ。罗斯版本校正〕。
②亚历山大８４。
６，“表达式‘不属于有些’与‘不属于所有’之间的区别不在于思想，而仅在于字面”。
③卢卡西维茨：《数理逻辑初步》（Ｅｌｅｍｅｎｔｙ
Ｌｏｇｉｋｉｍａｔｅｍａｔｙｃｚｎｅｊ）
，Ｍ。
普勒斯伯格编（油印本）
，华沙１９２９年第１７２页。
“逻辑分析对知识的重要性”
，（Ｚｎａｃｚｅｎｉｅ
ａｎａｌｉｚｙ
Ｌｏｇｉｃｚｎｅｊ
ｄｌａ
ｐｏｚｎａｎｉａ）
《哲学评论》第ｘｘｖｉ卷，华沙（１９３４）
，第３７３页。
-- 83
１５。
完全的和不完全的三段论A １７
３。
如果Ａ属于所有Ｂ并且Ｂ属于所有Ｃ，那么Ａ属于所有Ｃ。（Ｂａｒｂａｒａ）
４。
如果Ａ属于所有Ｂ并且Ｃ属于有些Ｂ，那么Ａ属于有些Ｃ。（Ｄａｔｉｓｉ）
要减少这些公理的数目是不可能的了。
特别是，它们不能由所谓“全和零原则”
（ｄｉｃｔｕｍｄｅ
ｏｍｎｉ
ｅｔ
ｎｕｌｏ，严复旧译为“曲全公论”——译者注）推导出来。
这条原则在不同的逻辑教科书中表述为不同的公式，并且总是非常含混的。
古典公式：“ｑｕｉｄｑｕｉｄ
ｄｅ
ｏｍｎｉｂｕｓ
ｖａｌｅｔ，ｖａｌｅｔ
ｅｔｉａｍｄｅ
ｑｕｉｂｕｓｄａｍｅｔ
ｄｅ
ｓｉｎｇｕｌｉｓ“与”ｑｕｉｄｑｕｉｄ
ｄｅ
ｎｕｌｏ
ｖａｌｅｔ，ｎｅｃｄｅｑｕｉｂｕｓｄａｍ ｎｅｃｄｅｓｉｎｇｕｌｉｓ
ｖａｌｅｔ“。
（“凡对于一类事物的全部所肯定或否定的，对于这一类的某一个与每一个也是可以肯定或否定的。”）
在严格的意义下，不能应用于亚里士多德逻辑，因为单一词项与单称命题并不包括在这个系统中。
此外，即使它能够推出什么东西来，我也看不出怎样能从这原则推出同一律和Ｄａｔｉｓｉ式。
何况，很明显，它并非一个单独的原则而是两个。
必须强调指出，亚里士多德对于这个隐晦的原则是没有责任的。
像凯因斯那样断定说“全和零原则”是亚里士多德作为公理提出，所有三段论推论均以它为基础，①这是不真实的。
在《前分析篇》中它没有在任何地方作为一个三段论的原则而被陈述。
有时关于这个原则作为公式而引用，不过是对于“表述所有的”以及“表述无一
①《形式逻辑》，第３０１页。
-- 84
２７第三章 亚里士多德三段论系统
的“诸词的一个解释而已。
①
如果“原则”的意思与“公理”一样，那么在亚里士多德逻辑中寻找这样一条原则是一个徒劳的企图。
如果它有另外的意义，我就根本不懂这个问题了。
迈尔曾为这个题目在他的书中写了隐晦的另外一章。
②他讲了一大串哲学的玄想，而它们本身既无根据，也不能从《前分析篇》本文中找到根据。
从逻辑观点看，它们是无用的。
１６。词项逻辑与命题逻辑A直到今日还没有对亚里士多德提出的化不完全三段论为完全三段论的证明作出严格的逻辑分析。
旧的逻辑史学家，如普兰特尔与迈尔都是哲学家，并且只懂得“哲学逻辑”
，它在十九世纪时，除了极少的例外，是低于科学水平的。
普兰特尔与迈尔现在都已经死了，但说服活着的哲学家们在获得一种称为“数理逻辑”的坚实知识之前应当停止关于逻辑或它的历史的写作，也许不是不可能的。
否则，对于他们和他们的读者都将是浪费时间。
我认为这一点有不小的实际重要性。
那些不了解在亚里士多德系统之外、还有另外一个比三段论理论更根本的逻辑系统的人，不能完全地了解亚里士多德的证明。
那个系统就是命题逻辑。
让我们用一个例子来说明
①《前分析篇》ｉ。
１：２４ｂ２８，“当其不能找出那一〔主项〕（～ π∈ιμH J F J G D ，——被Ｗ。
Ｄ。
罗斯省去）不能被另一词项断定的任何情况时，我们也可以M F J F说，一个词项表述另一个的全部；表述无一的，也必须作同样的了解。“
②《亚里士多德的三段论》，卷ｉｉｂ，第１４９页。
-- 85
１６。词项逻辑与命题逻辑A ３７
词项逻辑与命题逻辑之间的区别（亚里士多德逻辑不过是词项逻辑的一个部分）。
在亚里士多德式的同一律“Ａ属于所有的Ａ”或“所有Ａ是Ａ”之外，还有另外一种形式的同一律：“如果ｐ，那么ｐ”。
让我们比较这两个最简单的逻辑公式：所有Ａ是Ａ 和 如果Ｐ，那么Ｐ。
它们在常项（我称为函子，Ｆｕｎｃｔｏｒｓ）方面不同：在第一个公式中，函子是“所有——是”
，在第二个公式中，则是：“如果——那么”。
二者都是在此处同一的两个变元的函子。
但是，主要区别在变元之中。
在两个公式中，变元都是变项，但属于不同的种类：可替代变项Ａ的值是词项，如“人”或“植物”。
这样，从第一个公式可得到命题：“所有人是人”
，“所有植物是植物”。
变项Ｐ的值不是词项而是命题，如“都柏林位于里费河畔”或“今天是星期五”
；因此，我们由第二个公式得到命题：“如果都柏林位于里费河畔，那么都柏林位于里费河畔”或“如果今天是星期五，那么今天是星期五”。
这个词项变项与命题变项之间的区别，是两个公式之间的，从而也是两个逻辑系统之间的主要区别，而且由于词项和命题属于不同的语义范畴，这个区别是一个根本的区别。
命题逻辑的第一个系统的建立约在亚里士多德之后的半个世纪：它是斯多亚派的逻辑。
这个逻辑不是一个断定命题的系统，而是一个推论规则的系统。
所谓肯定前件的假言推理，现在称为分离规则的：“如果α，则β；但α；所以β”就是斯多亚派逻辑的最重要的原始推论规则中的一条。
变项α和β
-- 86
４７第三章 亚里士多德三段论系统
都是命题变项，因为仅仅命题能有意义地替代它们。
①命题逻辑的现代系统是１８７９年由德国大逻辑学家弗莱格创造的。
另一位十九世纪卓越的逻辑学家，美国人查尔士山德尔斯皮W尔士以他的逻辑矩阵P的发现（１８５年）对这个逻辑作了重大贡献。
《数学原理》的作者，怀特海与罗素后来在“演绎理论”的名义下把这个逻辑系统置于全部数学之首。
所有这些都是十九世纪的哲学家所不知道的。
直到当时，哲学家们也似乎没有命题逻辑的概念。
斯多亚派逻辑实际上是与亚里士多德逻辑媲美的杰作。
迈尔却说它产生了一幅形式主义的－语法的不固定性与缺乏原则的贫乏不毛的图画，并且在脚注中加上这种看法：普兰特尔与蔡勒对于这个逻辑的不利的评价必须维护②。
１９１年的《英国百科全书》简短地谈到斯多亚派逻辑：“它们对亚里士多德逻辑的修正与幻想的改进，大多是无用与迂腐的。”
③
似乎亚里士多德并没有想到在他的三段论理论之外还有另外一个逻辑系统的存在。
然而他直观地在其不完全三段论的证明中运用命题逻辑的定律，并且，甚至于在《前分析篇》第二卷中明显地提出了三个属于这个逻辑的命题。
它们的
①参看卢卡西维茨：“命题演算史”（ＺｕｒＧｅｓｃｈｉｃｈｔｅｄｅｓＡｕｓａｇｅｎｋａｌｋｕZｌｓ）
，《认识》杂志第Ⅴ卷，来比锡，１９３５年出版，第１—１３１页。
即现今通称的“真值表”。
——译者注P②迈尔《亚里士多德的三段论》第３８４页，“但是斯多亚派逻辑实际上是贫乏的、不毛的、形式主义的－语法的不固定与缺乏原则的图画。”同上，注①“实际上，即使普兰特尔与蔡勒对斯多亚派逻辑所作的那些不利的评价也应当保留。”
③１１版，剑桥１９１年出版，第２５卷第９４６页（“斯多亚”条）。
-- 87
１６。词项逻辑与命题逻辑A ５７
第一个是一条“易位律”
（ｌａｗ
ｏｆ
ｔｒａｎｓｐｏｓｉｔｉｏｎ）。
他说：“当两事物如此相互关联着：如果一个是，则另一个必然是，那么如果后者不是，则前者也应不是”。
①用现代逻辑的术语，这就是说，任何时候，一个“如果α则β”
形式的蕴涵式是真的，那么另一个“如果非β则非α”形式的蕴涵式也必真。
第二个是假言三段论定律。
亚里士多德用一个例子来解释：“每当如果Ａ是白的，则Ｂ应必然是大的，并且如果Ｂ是大的，则Ｃ应不是白的，那么这是必然的：如果Ａ是白的，则Ｃ应不是白的。”
②这就是说：每当“如果α，则β”和“如果β，则γ”
这两个形式的蕴涵式都真时，则第三个蕴涵式“如果α，则γ”亦必真。
第三个命题是把前两条定律应用于一个新的例子，并且，奇怪极了，它是假的。
这个非常有趣的段落是这样的：“同一个事物应由另外的同一个事物的存在或不存在使之成为必然的，这是不可能的。
我是指，例如，如果Ａ是白的则Ｂ应必然是大的，而且如果Ａ不是白的，则Ｂ应必然是大的，这是不可能的，因为如果Ｂ不是大的，则Ａ不能是白的。
但如果当Ａ不是白的的时候，Ｂ应是大的是必然的，它必然得出如果Ｂ不是大的，Ｂ本身就是大的了。
而这是不可能的。“
③
尽管亚里士多德所挑选的这个例子是不合适的，他的论
①《前分析篇》ｉ。
４，５７ｂ１。
②《前分析篇》ｉ。
４，５７ｂ６。
③《前分析篇》：ｉ。
４，５７ｂ３。
-- 88
６７第三章 亚里士多德三段论系统
证的意思是清楚的。
依据现代逻辑，它可以这样陈述：“如果α，则β”和“如果非α，则β”形式的两个蕴涵式不能同真。
因为从易位律我们由第一个蕴涵式得到前提“如果非β，则非α”
而这个前提与第二个蕴涵式一起由假言三段论定律产生结论“如果非β，则β”。
根据亚里士多德的意见这个结论是不可能的。
亚里士多德的最后一点说明是错的。
前件是后件的否定的蕴涵式“如果非β，则β”
不是不可能的；它可以是真的，并且根据命题逻辑的定律“如果（如果非ｐ，则ｐ）
，那么ｐ“
①
得出后件β作为结论。
迈尔在注释这一段的时候说，在这里会得出一个与矛盾律相反的组合，因而是荒谬的。
②这个注释又一次地显露了迈尔在逻辑上的无知。
违反矛盾律的不是蕴涵式“如果非β，则β”而仅仅是合取式“β并且非β”。
亚里士多德之后若干年，数学家欧几里德作出了一个数学定理的证明。
这个数学定理蕴涵着断定命题“如果（如果非ｐ，则ｐ）
，那么ｐ。“
③他首先说：“如果两个正整数ａ与ｂ的积
①见，Ａ。
Ｎ。
怀特海与Ｂ。
罗素：《数学原理》卷ｉ，剑桥１９１０年版，第１０８页，断定命题P２。
１８。
②《亚里士多德的三段论》，卷ｉｉａ，第３１页：“由于这样会得到一个与矛盾律相对立的组合，所以它乃是荒谬的。”
③见《Ｇ瓦拉第文集》（Ｓｃｒｉｔｉ
ｄｉ
Ｇｖａｉｌａｔｉ）
，来比锡－佛罗伦萨，ＣＸＶ，W《关于特第托的一段书与欧几里德的证明》，第５１６—５２７页；参看卢卡西维茨“对于多值命题演算系统的哲学考察”
（ＰｈｉｌｏｓｏｐｈｉｓｃｈｅＢｅｍｅｒｋｕｎｇｅｎｚｕｍｅｈｒｗｅｒｔｉｇｅｎｓｙｓｅｍｅｎｄｅｓＡｕｓａｇｅｎｋａｌｋｕZｌｓ）
，《华沙科学与文学会会刊》ｘｉ卷（１９３０年）
，第Ⅲ类，第６７页。
-- 89
１７。换位法证明A ７７
是可以被素数ｎ整除的，则如果ａ是不能被ｎ整除的，则ｂ应当被ｎ整除。“让我们假定ａ＝ｂ，并且它们的积ａ×ａ（ａ２）能被ｎ整除。
由这个假定得出：“如果ａ是不能被ｎ整除的，则ａ是可被ｎ整除的。”这里我们就有了一个前件为其后件否定的真蕴涵式的例子。
从这个蕴涵式中欧几里德导出定理：“如果ａ２可被一素数ｎ整除，则ａ可被ｎ整除。”
１７。换位法证明A用一个前提换位来证明不完全的三段论，既是最简单的也是亚里士多德最经常使用的。
让我们分析两个例子。
第二格Ｆｅｓｔｉｎｏ式的证明是这样：“如果Ｍ属于无一Ｎ，但属于有些Ｘ，则Ｎ必不属有些Ｘ也是必然的了。
因为否定前提是可换位的，Ｎ属于无一Ｍ，但已认定Ｍ属于有些Ｘ；所以Ｎ不属于有些Ｘ。
达到这个结论是借助于第一格。“
①
这个证明基于两个前提：其一是Ｅ命题的换位律：（１）如果Ｍ属于无一Ｎ，那么Ｎ属于无一Ｍ，另一个是第一格的Ｆｅｒｉｏ式：（２）如果Ｎ属于无一Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ不属于有些Ｘ。
从这些前提我们必定导出Ｆｅｓｔｉｎｏ式：（３）如果Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ不属于有些Ｘ。
亚里士多德直观地进行这个证明。
在分析他的直观时，我们发
①《前分析篇》ｉ。
５，２７ａ３２。
-- 90
８７第三章 亚里士多德三段论系统
现两条命题演算的断定命题：其一是上面已提到的假言三段论定律，它可以陈述为下列形式：（４）如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么［如果（如果ｑ，则ｒ）
，则（如果ｐ，则ｒ）
］，①
另一断定命题读作：（５）如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么（如果ｐ并且ｒ，则ｑ并且ｒ）。
这个断定命题在《数学原理》中，根据皮亚诺的主张，把它叫做因子原则（ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ
ｏｆ
Ｆａｃｔｏｒ）。
它表明我们可用一个公因子“乘”蕴涵式的两边，即，我们可借助于“并且”这个词，把一个新命题ｒ加于ｐ和加于ｑ，②
我们从断定命题（５）
开始。
因为ｐ，ｑ和ｒ都是命题变项。
我们可以用亚里士多德逻辑的前提去代替它们。
以“Ｍ属于无一Ｎ”代ｐ，“Ｎ属于无一Ｍ”代ｑ，以“Ｍ属于有些Ｘ”代ｒ，我们从（５）的前件可得出换位律（１）
，并且我们可把（５）
的后件分离出来作为一个新的断定命题。
这个新断定命题有形式：（６）如果Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ属于无一Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ。
这个断定命题的后件与断定命题（２）的前件等同，因此，我们可对（６）与（２）应用假言三段论规则，以合取式“Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ”代ｐ，以合取式“Ｎ属于无一
①见《数学原理》第１０４页，断定命题P２。
０６。
②见《数学原理》第１９页，断定命题P３。
４５。
合取式“ｐ并且ｒ”在《数学原理》中被称为“逻辑积”。
-- 91
１７。换位法证明A ９７
Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ“
代ｑ，而以命题“Ｎ不属于有些Ｘ”
代ｒ。
两次运用分离规则，我们就从这个新断定命题得到Ｆｅｓｔｉｎｏ式。
我想分析的第二个例子稍有不同。
它就是上面提到过的Ｄｉｓａｍｉｓ式的证明。
①我们要证明以下的不完全三段论：（７）如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于有些Ｓ，那么Ｐ属于有些Ｒ。
这个证明基于第一格的Ｄａｒｉ式：（８）如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｓ属于有些Ｐ，那么Ｒ属于有些Ｐ。
而且基于Ⅰ命题换位律的两次应用，第一次应用于以下形式：（９）如果Ｐ属于有些Ｓ，则Ｓ属于有些Ｐ，而第二次应用于以下形式：（１０）如果Ｒ属于有些Ｐ，则Ｐ属于有些Ｒ。
我们以假言三段论的定律和下列断定命题作为命题逻辑的辅助命题。
下面的断定命题与（５）略有不同，但还可以叫做因子原则：（１）如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么（如果ｒ并且ｐ，则ｒ并且ｑ）。
（５）与（１）之间的差别在于：公因子ｒ不是象在（５）
之中那样在第二个位置上，而是在第一个位置上。
由于合取式是可交换的，而且“ｐ并且ｒ”与“ｒ并且ｐ”是等价的，所以这个差别不影响这个断定命题的正确性。
亚里士多德所作的证明由前提“ｐ属于有些Ｓ”
的换位开
①见第３７页注①。
-- 92
０８第三章 亚里士多德三段论系统
始。
在这个处理之后，让我们把（１）中的ｐ代之以前提“ｐ属于有些Ｓ”
，把ｑ代之以前提“Ｓ属于有些Ｐ”
，而把ｒ代之以前提“Ｒ属于所有Ｓ”。
用这个替换，我们从（１）的前件得到换位律（９）
，并且我们因而可以分离出（１）的后件，即：（１２）
如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于有些Ｓ，那么Ｒ属于所有Ｓ并且Ｓ属于有些ｐ。
（１２）的后件与（８）的前件是等同的。
应用假言三段论定律，我们能从（１２）和（８）得到三段论：（１３）
如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于有些Ｓ，那么Ｒ属于有些Ｐ。
但这个三段论不是所要求的Ｄｉｓａｍｉｓ式，而是Ｄａｔｉｓｉ式。
当然，Ｄｉｓａｍｉｓ式能够从Ｄａｔｉｓｉ式根据断定命题（１０）把它的后件换位而导出，亦即应用假言三段论于（１３）与（１０）。
然而似乎亚里士多德采取了另一个途径：他并不用导出Ｄａｔｉｓｉ式并转换它的结论的办法，而是把Ｄａｒｉ式的结论换位，从而得到三段论：（１４）
如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｓ属于有些Ｐ，那么Ｐ属于有些Ｒ。
并且随后他直观地应用假言三段论定律于（１２）与（１４）。
三段论（１４）是一个第四格的式，叫做Ｄｉｍａｒｉｓ。
如我们已经知道的，亚里士多德在《前分析篇》第二卷开头的地方提到这个式。
以同样的办法我们可以分析所有其它的用换位法的证明。
由此分析可见：如果我们在第一格的完全的三段论和换位定律之上，加上三条命题逻辑的定律，即假言三段论定律和
-- 93
１８。归谬法证明A １８
两个因子定律，我们就得到了除Ｂａｒｏｃｏ与Ｂｏｃａｒｄｏ之外的、所有的不完全三段论的严格地形式化的证明。
这除外的两个式需要命题逻辑的另外的断定命题。
１８。归谬法证明AＢａｒｏｃｏ式与Ｂｏｃａｒｄｏ式用换位法不能化归为第一格。
Ａ前提换位会产生Ⅰ前提，由它与Ｏ前提一起不能得出什么东西，而Ｏ前提又不能换位。
亚里士多德企图用归谬法（ｒｅｄｕｃCｔｉｏａｄｉｍｐｏｓｉｂｉｌｅ，α‘παγωγηV
∈ｓDα‘δDα）
来证明H J F H J F这两个式。
对Ｂａｒｏｃｏ的证明这样说道：“如果Ｍ属于所有Ｎ，但不属于有些Ｘ，则Ｎ应不属于有些Ｘ，就是必然的了；因为如果Ｎ属于所有Ｘ，而Ｍ也表述所有Ｎ，Ｍ必属于所有Ｘ；但已假定Ｍ不属于有些Ｘ”。
①这个证明是太简洁了而且需要解释，通常是用以下方式解释：②
我们要证的三段论：（１）如果Ｍ属于所有Ｎ并且Ｍ不属于有些Ｘ，则Ｎ不属于有些Ｘ。
已经承认前提“Ｍ属于所有Ｎ”以及“Ｍ不属于有些Ｘ”都真；则结论“Ｎ不属于有些Ｘ”必须也是真的。
因为如果它是假的，它的矛盾命题“Ｎ属于所有Ｘ”就会是真的。
这最后一个命题就是我们逆推的起点。
因为已经承认前提“Ｍ属于所有Ｎ”是真的，我们从这个前提与命题“Ｎ属于所有Ｘ”
（用
①《前分析篇》ｉ。
５，２７ａ３７②例如，参见迈尔《亚里士多德的三段论》，卷ｉｉａ，第８４页。
-- 94
２８第三章 亚里士多德三段论系统
Ｂａｒｂａｒａ式）得到结论“Ｍ属于所有Ｘ”。
但这个结论是假的，因为已经承认了它的矛盾命题“Ｍ不属于有些Ｘ”
是真的，所以我们逆推的起点“Ｎ属于所有Ｘ”
导致了一个假的结论，从而它必是假的，而它的矛盾命题，“Ｎ不属于有些Ｘ”必是真的。
这个论证只有表面的说服性；事实上它并没有证明上面的三段论。
它仅能应用于传统的Ｂａｒｏｃｏ式（我以这个式通常带有动词“是”的形式来引述它，而不用亚里士多德式的带有“属于”字样的形式）
：（２） 所有Ｎ是Ｍ，有些Ｘ不是Ｍ，所以有些Ｘ不是Ｎ。
这是一条推论规则，假定前提都真的话，那也就允许我们断定这个结论。
它并不说明当前提都假时，会发生什么事情。
这是与一条推论规则无关的，因为，显然，一个基于假前提的推论不能是正确的。
但亚里士多德式三段论都不是推论规则，它们都是命题。
三段论（１）是一个蕴涵式，它对于变项Ｍ，Ｎ和Ｘ的所有的值都是真的，而不仅是对于那些能确证这些前提的值才是真的。
如果我们将此Ｂａｒｏｃｏ式应用于词项Ｍ＝鸟，Ｎ＝动物，与Ｘ＝猫头鹰时，我们得到一个真的三段论（我用带“是”字的形式，如亚里士多德在例子中所作的那样）
：（３） 如果所有动物都是鸟并且有些猫头鹰不是鸟，
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１８。归谬法证明A ３８
那么有些猫头鹰不是动物。
这是一个Ｂａｒｏｃｏ式的例子，因为它用替换而由该式得出。
但上面的论证不能应用于这个三段论。
我们不能承认这些前提都是真的，因为命题“所有动物是鸟”和“有些猫头鹰不是鸟”
确实是假的。
我们不需要假定结论是假的；不论我们假定它的虚假性与否，它总是假的。
但主要之点在于；结论的矛盾命题，亦即命题“所有猫头鹰是动物”与第一个前提“所有动物都是鸟”在一起产生出的结论不是假的，而是真的：“所有猫头鹰都是鸟”。
“归谬”在这个情况下是不可能的。
亚里士多德所提出的证明既不是充分的，也不是一个归谬的证明。
亚里士多德用与直接的或显示的证明相对比的办法，来描述间接的证明或“归谬法”的论证。
间接证明假定它希望否决的东西，即用还原法去否决被认为假的命题，而显示法证明从承认为真的命题开始。
①因为如果我们要用归谬法证明一个命题，我们必须从它的否定出发并从而导出一个显然虚假的命题。
Ｂａｒｏｃｏ式的间接证明应从该式的否定出发，而不是由它的结论的否定出发，并且这个否定应导致一个无条件的虚假的命题，而不是一个仅在某些条件下才是假的命题。
我将在此处提出一个这样的证明的简述。
令α指示命题“Ｍ属于所有的Ｎ”
，β指示“Ｎ属于所有Ｘ”
，以及γ指示“Ｍ属于所有Ｘ”。
因为一个Ａ前提的否定是一个Ｏ前提，“非
①《前分析篇》ｉ。
１４，６２ｂ２９，“归谬法的论证，不同于显示法的证明在于它设置它希望反驳的命题，即用还原为公认为虚假的命题的办法来反驳设置的命题；而显示法证明则从它所承认（为真）的论点出发。”
-- 96
４８第三章 亚里士多德三段论系统
β“
①是“Ｎ不属于有些Ｘ”的意思，而“非γ”是“Ｍ不属于有些Ｘ”的意思。
根据Ｂａｒｏｃｏ式，蕴涵式“如果α并且非γ，则非β”
是真的，或者，换言之，α并且非γ与β不同真。
因此，这个命题的否定意味着“α并且β并且非γ”同真。
但从“α并且β”用Ｂａｒｂａｒａ式得出“γ”
；因此，我们得到了“γ并且非γ”
，亦即一个由于有着形式的矛盾而显然虚假的命题。
这个用归谬法对Ｂａｒｏｃｏ式的真正的证明，完全不同于亚里士多德所提出的证明，这是易于看出的。
Ｂａｒｏｃｏ式能以一个极简易的显示证明从Ｂａｒｂａｒａ式得到证明，它需要一个、也仅仅只需要一个命题逻辑的断定命题，那就是以下的复杂的易位律：（４）如果（如果ｐ并且ｑ，则ｒ）
，那么（如果ｐ并且非ｒ，则非ｑ）。
②令“Ｍ属于所有Ｎ”代ｐ，“Ｎ属于所有Ｘ”代ｑ，以及“Ｍ属于所有Ｘ”代ｒ。
通过此替代，从（４）的前件得到Ｂａｒｂａｒａ式，并因而可分离出后件，它读作：（５）如果Ｍ属于所有Ｎ并且Ｍ属于所有Ｘ是不真的，那么Ｎ属于所有Ｘ是不真的。
因为Ｏ前提是Ａ前提的否定，我们可以在（５）中以“不属于有些”替代“属于所有是不真的”
，从而得到Ｂａｒｏｃｏ式。
毫无疑问，亚里士多德是知道在上述证明中所涉及的易位律的。
这个定律与亚里士多德透彻地研究过的所谓三段论
①我用“非”作为命题的否定“这是不真实的……”的缩写。
②见《数学原理》第１８页，断定命题P３。
３７。
-- 97
１８。归谬法证明A ５８
的“转换”
①（ｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ）
密切相联。
转换一个三段论，就是：把结论的反对命题或矛盾命题（在归谬法证明中仅采取矛盾命题）
与前提之一一起采取，从而推翻另一个前提。
亚里士多德说：“这是必然的：如果结论已被转换并且前提之一成立，则另一个前提应被推翻。
因为如果它应当成立，则结论也必定成立了。“
②这是对复杂的易位律的一个描述。
所以亚里士多德知道这个定律；而且，他应用它从Ｂａｒｂａｒａ式得出Ｂａｒｏｃｏ式和Ｂｏｃａｒｄｏ式。
在同一章中研究第一格各式的转换的时候，他说：“令三段论是肯定的（即Ｂａｒｂａｒａ式）
，又令它如已说过的那样转换（即用矛盾的否定）。
那么，如果Ａ不属于所有Ｃ但属于所有Ｂ，Ｂ将不属于所有Ｃ。
而且，如果Ａ不属于所有Ｃ，但Ｂ属于所有Ｃ，Ａ将不属于所有Ｂ“。
③在这里提出了Ｂａｒｏｃｏ式与Ｂｏｃａｒｄｏ式证明的最简单的形式。
在三段论理论的系统解说中，这些正确的证明都被不充分的归谬论证所代替。
我想，理由在于亚里士多德并没有把通过假设的论证（ａｒｇｕｍｅｎｓ
∈‘ξπθ∈’δ∈ωｓ）
看作真正J证明的手段。
所有论证，对于他来说，都是使用直言三段论的证明；他力图表明归谬证明，就其至少包含的一部分是直言三段论而言，乃是一种真正的证明。
在分析正方形的一边与其
①《前分析篇》ｉ。
８—１０。
②同上，８，５９ｂ３，“因为这是必然的，如果结论已被改变成与它相反的东西并且前提之一成立，则另一个前提应被推翻。
因为如果它应当成立，则结论也必定成立了。“参见《论辩篇》ｖｉ。
１４，１６３４，“如果一个结论是不真的，那么必然导致诸前提中的某一个的取消，因为给出所有前提的话，那个结论就必定产生。”
③《前分析篇》ｉ。
８，５９ｂ２８。
-- 98
６８第三章 亚里士多德三段论系统
对角线不可公约的定理的证明时，他明白地说：我们由一个三段论可知：这个定理的矛盾将导致荒诞的后果，即奇数应等于偶数，但定理本身是由一个假设来证明的，因为当它被否定时，就得出虚假的命题。
①亚里士多德断定，所有其它假设论证都是这一类的；因为在每一场合，三段论都导致一个与原断定命题不同的命题，而原断定命题是由认可或由某些其它的假设所得到的。
②当然，所有这些都是不真实的；亚里士多德并不懂得假设论证的性质。
Ｂａｒｏｃｏ式与Ｂｏｃａｒｄｏ式是用易位定律来证明，不是由认可或由某些其它的假设而达到的，而是由一个清楚的逻辑定律来进行的；同时，它确实是在另外一个基础上对一个直言三段论的证明，但它不是由一个直言三段论来进行的。
在《前分析篇》第一卷之末，亚里士多德指出有许多假设论证应当加以考虑和描述，并许诺将在以后来作这项工作。
③这个诺言他并未在任何地方兑现。
①这个任务留给了斯多亚派。
他
①《前分析篇》ｉ。
２３，４１２３，“凡是进行归谬论证的人们，用三段论的方法推出虚假的命题，并且，就假设地证明了原来的结论了，当从它的矛盾的假定而得出某些不可能的东西的时候；例如，正方形的对角线是不能与其一边通约的，因为如果假定可以通约则奇数将会等于偶数。
一个人用三段论推出奇数将会等于偶数，他就通过假设证明了对角线不能通约，因为通过它的矛盾就会得到一个虚假的命题。“
②《前分析篇》ｉ。
２３，４１ａ３７，“所有其它的假设三段论都是一样；因为在每一场合，三段论都导致一个由代换原断定命题而得的命题，而原断定命题是由认可或某些其它假设所得到的。”
③同上４，５０ａ３９，“许多其它论证也是借助于一个假设而导致结论的；这些我们也应当考虑并弄清楚，我们将在以后来描述这些假设的论证的差别和形成的各种方式。”
〔Ｗ。
Ｄ。
罗斯主编的《亚里士多德全集》英译本（１９２８年牛津版）
在此处加上了一个脚注：“这个诺言在亚里士多德的现存著作中未曾兑现。”
——译者注〕
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１８。归谬法证明A ７８
们把这个假设论证的理论包括在他们的命题逻辑系统之内，在那里，复杂易位律找到了自己合适的地位。
在埃奈西德谟斯的一个论证的场合（它与我们的目的无关）
，斯多亚派学者分析了以下的推论规则，它相当于复杂的易位律：“如果第一并且第二，则第三；但非第三并且第一；所以非第二”。
②这个规则化归为斯多亚派逻辑的第二个和第三个不可证明的三段论。
我们已经知道了第一个不可证明的三段论，那就是肯定前件的假言推理；第二个是否定后件的假言推理（ｍｏｄｕｓ
ｔｏｌCｌｅｎｓ）
：“如果第一，则第二；但非第二；所以，非第一”。
第三个不可证明的三段论从否定的合取式开始而读作：“非（第一并且第二）
；但第一；所以，非第二。“根据塞克斯都恩披里W可，这个分析是这样进行的：用第二个不可证明的三段论，从蕴涵式”如果第一并且第二，则第三“
，以及它的后件的否定“非第三”
，我们得到它的前件的否定“非（第一并且第二）”。
从这个命题（它是实际包含在前提中，但未用文字明显地表示出来）与前提“第一”结合在一起，用第三个不可证明的三段论得出结论“非第二”。
③这是我们归之于斯多亚派学者
① 亚历山大３８９。
３２，他在注释这一段的时候说：“他说有许多其它的结论也是借助于一个假设而导致结论的。
因为打算在以后更加详尽地来分析这些论证，所以他把它们搁下了。
但是，他并未留下任何与此有关的著作。“
② 斯多亚派学者用序数词指示命题变项。
③ 塞克斯都恩披里可（穆契曼编）
《反数学家》，ｖｉ。
２３５—２３６：“这个规W则〔即指埃奈西德谟斯（怀疑论者，约与西塞罗同时——译者注）作为问题提出的〕化归为借助于第二个和第三个不可证明的式的论证，正如可以从对我们具有更大明晰性的分析中学会的一样，如果我们把关于式（ρDπ）的理论表述如下：E J F
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８８第三章 亚里士多德三段论系统
的最干净利落的论证之一。
可见有才能的逻辑学家在两千多年前以我们今天所作的同样方式进行了推理。
１９。显示法证明A用换位法和用归谬法证明，对于将不完全的三段论化为完全的三段论说来是足够了。
但亚里士多德还作出了第三种证明，即所谓用显示法证明（‘Dθ∈σι）。
虽然对亚里士多德系M G统来说，它是无关紧要的，但它们本身是有兴趣的，并且值得仔细研究。
在《前分析篇》中仅有三处地方亚里士多德对这个证明作了一个简短的刻画。
第一处是与证明Ｅ前提的换位相联系的，第二处是Ｄａｒａｐｔｉ式的证明，第三处是Ｂｏｃａｒｄｏ式的证明。
‘θDσθαι一字仅仅出现在第二处，但无疑另两段也是指的用M G M显示法证明。
①
‘如果第一并且第二，则第三；令第三被否定，但第一被采用；这样就得到第二的否定’。
因为那时我们有一个蕴涵式（σημμD ＝ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ）
，其前件（γDμF M F J F J F M F J F＝ａｎｔｅｃｅｄｅｎｔ）是合取式（δμππγμD ＝ｃｏｎｊｕｎｃｔｉｏｎ）
，即‘第一并且第二’，其F M Q M F J F后件（γ＝ｃｏｎｓｅｑｕｅｔ）是‘第三’，而我们有一个矛盾的后件，即‘非第Q J F三’，根据第二个不可证明的式，我们也得到一个矛盾的前件，即‘非（第一并且第二）
‘。
然而这一切都潜在地包含在规则之中。
因为在我们这里各前提将结合起来；如果我们说出来，它就全被显露出来。
当其与余下的命题‘第一’～P （H J F‘ò
πρω～‘）
相联结时，根据第三个不可证明的式，我们将有综合的结论所以，H [ J F‘非第二’。“
〔～P 此处古抄本作第一个（πρω～π）
（命题）
；科恰尔斯基氏作：论H J F J F式的（～ ρπ）
（命题）
；手抄本作：（命题‘第一’‘～ òπρω～γ’）。
又，H J F E J F H J F H E Jρóｓ＝由变项表达的式。
〕H E J① 还有另外两段关于显示法的篇章；《前分析篇》３０ａ１５—１４及３０ｂ３１—４０（这个提示我得之于Ｗ。
Ｄ。
罗斯爵士）
，但都是有关模态三段论的图式的。
让我
-- 101
１９。显示法证明A ９８
们从第一处开始，它这样说：“如果Ａ属于无一Ｂ，Ｂ也不会属于任何Ａ。
因为，如果它应属于某些，如Ｃ，则Ａ属于无一Ｂ就不是真的；因为Ｃ就是Ｂ的某些分子。“
①Ｅ前提的换位在这里是用归谬法加以证明的，但这个归谬证明基于Ⅰ前提的换位，而Ⅰ前提的换位是由显示法证明的。
用显示法证明需要引入一个新词项，叫做“显示词项”
（ｅｘｐｏｓｅｄ
ｔｅｒｍ）
；它在此处，就是Ｃ。
由于这段文字的隐晦，这个Ｃ的恰当的意义以及这个证明的逻辑结构只有用揣测来得到了。
我将根据现代形式逻辑试着对这问题加以解释。
我们要证明Ⅰ前提的换位律：“如果Ｂ属于有些Ａ，则Ａ属于有些Ｂ”。
亚里士多德为此目的引入一个新词项Ｃ；从他的话中，可知Ｃ包含于Ｂ之中也包含于Ａ之中，由此我们可得到两个前提：“Ｂ属于所有Ｃ”及“Ａ属于所有Ｃ”。
从这些前提，我们能用三段论（用Ｄａｒａｐｔｉ式）推出结论“Ａ属于有些Ｂ”。
这是亚历山大提出的第一个解释。
②但这个解释是可以反驳的，它预先假定了Ｄａｒａｐｔｉ式，而这个式是还没有被证明的。
因此，亚历山大宁愿采取另外一个不是基于三段论的解释；他主张词项Ｃ是一个由知觉提供的单一词项，而显示证
①《前分析篇》ｉ。
２，２５ａ１５〔据Ｗ。
Ｄ。罗斯校正〕。
②亚历山大３２。
１２，“如果Ｂ属于有些Ａ，……令它也属于Ｃ。
令它（Ｃ）是有些Ａ，这些Ａ也是Ｂ所属于的。
令Ｃ整个地包含在Ｂ之中且成为Ｂ的一部分，而Ｂ表述所有的Ｃ。
因为说一个东西被包含在另一个东西的全部之中，与说另一个东西表述它的全体，这是完全一样的。
然而Ｃ是一部分Ａ，而Ｂ同时整个地被包含于Ａ之中。
如果它整个地被包含，那么Ａ表述所有Ｃ。
然而Ｃ是Ｂ的一部分，因此，Ａ将表述某些Ｂ。“
-- 102
０９第三章 亚里士多德三段论系统
明在于一种知觉的证据。
①无论如何，这个被迈尔承认的解释，②是没有《前分析篇》本文的支持的。
亚里士多德并没有说过Ｃ是一个个体的词项。
况且，一个用知觉作的证明并不是逻辑证明。
如果我们要逻辑地证明前提“Ｂ属于有些Ａ”可以换位，而证明是借助于第三个词项Ｃ来进行的，我们就必须找到一个联结上述前提与含有Ｃ的命题的断定命题。
当然，简单地说，如果Ｂ属于有些Ａ，则Ｂ属于所有Ｃ并且Ａ属于所有Ｃ，是不真的；但稍微修改一下这个蕴涵式的后件就容易解决我们的问题。
我们必须在后件之前加上一个约束变项Ｃ的存在量词，“有一个”。
因为，如果Ｂ属于有些Ａ，这里总存在一个词项Ｃ，使得Ｂ属于所有Ｃ并且Ａ属于所有Ｃ。
Ｃ可以是Ａ和Ｂ的共同部分，或包括在这共同部分中的一个词项。
例如：如果有些希腊人是哲学家，这里就存在着词项“希腊人”与“哲学家”的共同部分，即“希腊哲学家”
，并且显然，所有希腊哲学家都是希腊人，而所有希腊哲学家也都是哲学家。
因此，我们可以陈述下列断定命题：（１）如果Ｂ属于有些Ａ，则有一个Ｃ使得Ｂ属于所有Ｃ
①亚历山大３２。
３２，“但是更好和更适宜的有关的显示法将表明，在这里证明的获得是通过感性知觉而获得的，而不是靠所说的式，也不是靠三段论。
显示法的式得之于感觉方面，而不是得之于三段论的方式。
某些人从感觉方面所取的Ｃ构成Ａ的一部分。
如果Ｂ表述可感觉的和单一的Ｃ，构成Ａ的一部分，并且Ｃ作为Ｂ的一部分也包含于其中，那么Ｃ就成为两者的一部分，并且包含于两者之中。“
②《亚里士多德的三段论》，卷ｉｉａ，第２０页“所以论证不取决于一个三段论，而取决于明晰性的提示。”
-- 103
１９。显示法证明A １９
并且Ａ属于所有Ｃ。
这个断定命题是显然的。
而且（１）
的换位也同样是显然的。
如果有Ａ和Ｂ的共同部分，Ｂ必定属于有些Ａ。
因此，我们得到：（２）如果有一个Ｃ使得Ｂ属于所有Ｃ并且Ａ属于所有Ｃ，则Ｂ属于有些Ａ。
也许亚里士多德直观地感到这些断定命题的真，虽然他没有能够明显地加以塑述；并且尽管他没有看到所有导致这个结果的演绎的步骤，他却抓住了它们与Ⅰ前提换位的联系。
我将在这里作出Ⅰ前提换位的完全的形式证明，由断定命题（１）
与（２）开始，并对它们运用某些命题逻辑的定律和存在量词的规则。
亚里士多德一定知道下面的命题逻辑的断定命题：（３）如果ｐ并且ｑ，则ｑ并且ｐ。
这就是合取式的交换律。
①应用这条定律于前提“Ｂ属于所有Ｃ”以及“Ａ属于所有Ｃ”
，我们得到：（４）
如果Ｂ属于所有Ｃ并且Ａ属于所有Ｃ，则Ａ属于所有Ｃ并且Ｂ属于所有Ｃ。
我们应用存在量词规则于这条断定命题。
有两条这样的规则；两者都与有关的一个真蕴涵式相联系来陈述。
第一条规则读作：在一个真蕴涵式的后件之前允许加上一个存在量词，把出现于后件中的自由变项约束起来。
由此规则得到：（５）如果Ｂ属于所有Ｃ并且Ａ属于所有Ｃ，则有一个Ｃ
①① 见《数学原理》第１６页，断定命题P３。
２。
-- 104
２９第三章 亚里士多德三段论系统
使得Ａ属于所有Ｃ并且Ｂ属于所有Ｃ。
第二条规则读作：在一个真蕴涵式的前件之前允许加上一个存在量词，把出现在前件中的自由变项约束起来，只要它不在后件中作为自由变项出现。
在（５）
中，Ｃ已经在后件中约束起来了；因此，根据这条规则，我们可以在前件中约束Ｃ，从而得到公式：（６）如果有一个Ｃ使得Ｂ属于所有Ｃ并且Ａ属于所有Ｃ，则有一个Ｃ使得Ａ属于所有Ｃ并且Ｂ属于所有Ｃ。
这个公式的前件与断定命题（１）的后件相同；因此，由假言三段论定律得出：（７）如果Ｂ属于有些Ａ，则有一个Ｃ使得Ａ属于所有Ｃ并且Ｂ属于所有Ｃ。
从（２）将Ａ与Ｂ交换，我们得到断定命题：（８）如果有一个Ｃ使得Ａ属于所有Ｃ并且Ｂ属于所有Ｃ，则Ａ属于有些Ｂ。
而从（７）和（８）用假言三段论我们可以推出Ⅰ前提的换位定律：（９）如果Ｂ属于有些Ａ，则Ａ属于有些Ｂ。
从以上所述，可见Ⅰ前提的可转换性的真正理由在于合取式的可交换性。
属于Ａ和Ｂ两者的个体词项的知觉可以直观地使我们相信这个前提的可转换性，但对于一个逻辑证明来说是不充分的。
没有必要假定Ｃ是由知觉提供的单一词项。
用显示法证明Ｄａｒａｐｔｉ式现在能够易于理解了。
亚里士多德用换位法把这个式化为第一格，从而说道：“用归谬法和
-- 105
１９。显示法证明A ３９
用显示法来论证这个都是可能的。
因为如果Ｐ和Ｒ二者都属于所有Ｓ，则Ｐ和Ｒ二者必属于Ｓ的某些分子，例如说Ｎ，Ｐ和Ｒ都属于它，那么，Ｐ属于有些Ｒ。“
①亚历山大对这一段的注释值得我们注意。
它以一个批判的评论开始。
如果Ｎ是一个包含于Ｓ中的普遍词项，我们就得到前提“Ｐ属于所有Ｎ”
和“Ｒ属于所有Ｎ”。
但这恰好是相同的前提的组合（σγιD F \ Fα）
，犹如“Ｐ属于所有Ｓ”和“Ｒ属于所有Ｓ”一样，而问题仍如前面一样保留着。
因此，亚历山大继续说：Ｎ不能是一个普遍词项；它是一个由知觉提供的单一词项、一个明显地存在于Ｐ与Ｒ之中的词项，而且整个用显示法的证明是一种借助于知觉的证明。
②我们已经在上面碰见这个意见了。
为了支持这个说法，亚历山大举出三个论证：第一，如果他的解释被拒绝了，我们就将根本没有证明了；其次，亚里士多德并没有说Ｐ和Ｒ属于所有Ｎ，而是简单地说属于Ｎ；第三，他并没有转换带Ｎ的命题。
③这些论证中没有一个是有说服力
①《前分析篇》，ｉ。
５，２８ａ２。
②亚历山大９。
２８，“如果我们采用‘Ｐ属于所有Ｓ’与‘Ｒ属于所有Ｓ’或者我们又说它们属于Ｓ的某一部分，即Ｎ，这之间有什么区别呢？
要知道同样的东西关系到我们所取的Ｎ。
不论我们说它们两者属于所有Ｎ，或者说它们两者属于所有Ｓ，我们将有同样的前提组合。
但在两种情况下不是使用的同样的论证。
显示法的式得之于感性知觉，我们不说Ｐ和Ｒ表述相关的具有普遍性的Ｓ的一部分，……而说它们表述它们之中的某个可感觉的东西，这个可感觉的东西是明显地包含在Ｐ以及Ｒ之中的“。
③亚历山大１０。
７，“对于显示法的式带有感觉性质有利的第一个论证乃是：如果我们摒弃了它，那么我们就根本不能得到任何的论证了；他本人不说Ｐ和Ｒ属于所有Ｎ，（这些Ｎ构成Ｓ的某些部分）
，而他仅仅说，它们简单地属于Ｎ。
他也不使用命题的换位。“
-- 106
４９第三章 亚里士多德三段论系统
的：在我们的例子中并没有换位的需要；亚里士多德经常在应当使用全称的记号的地方把它省去了；①至于第一个论证，我们已经知道有了另一个更好的解释。
Ｄａｒａｐｔｉ式：（１０）
如果Ｐ属于所有Ｓ并且Ｒ属于所有Ｓ，则Ｐ属于有些Ｒ，来自断定命题（２）的替代（以Ｐ代Ｂ，以Ｒ代Ａ）
：（１）如果有一个Ｃ使得Ｐ属于所有Ｃ并且Ｒ属于所有Ｃ，则Ｐ属于有些Ｒ，以及断定命题：（１２）如果Ｐ属于所有Ｓ并且Ｒ属于所有Ｓ，则有一个Ｃ使得Ｐ属于所有Ｃ并且Ｒ属于所有Ｃ。
断定命题（１２）可以由应用存在量词的第二条规则于同一律的公式：（１３）
如果Ｐ属于所有Ｃ并且Ｒ属于所有Ｃ，则Ｐ属于所有Ｃ并且Ｒ属于所有Ｃ，而得到证明，由此得到：（１４）
如果Ｐ属于所有Ｃ并且Ｒ属于所有Ｃ，则有一个Ｃ使得Ｐ属于所有Ｃ并且Ｒ属于所有Ｃ，再于（１４）
中用字母Ｓ替代自由变项Ｃ，亦即仅在前件中进行替代，因为不允许用任何东西去替换约束变项。
从（１２）和（１）
，借助假言三段论就得出Ｄａｒａｐｔｉ式。
我们又一次地看到显示词Ｃ是一个像Ａ或Ｂ一样的普遍词项。
①例如，见本书第１０页的注①。
-- 107
１９。显示法证明A ５９
当然，用Ｎ而不用Ｃ来指示这个词项是不重要的。
较为重要的似乎是第三处，它包含用显示法对Ｂｏｃａｒｄｏ式的证明。
这一段说：“如果Ｒ属于所有Ｓ，但Ｐ不属于有些Ｓ，那么，Ｐ应不属于有些Ｒ就是必然的了。
因为，如果Ｐ属于所有Ｒ，而Ｒ属于所有Ｓ，则Ｐ将属于所有Ｓ；但我们假定它并不如此。
不用归谬法证明也是可能的，如果Ｐ并不属于所有的Ｓ的某些分子的话。“
①我将用与其它的用显示法证明同样方式来分析这个证明。
令Ｐ不属于Ｓ的那个部分为Ｃ；我们得到两个命题：“Ｓ属于所有Ｃ”
及“Ｐ属于无一Ｃ”。
由这些命题中的第一个与前提“Ｒ属于所有Ｓ”从Ｂａｒｂａｒａ式我们得到结论“Ｒ属于所有Ｃ”
，它与第二个命题“Ｐ属于无一Ｃ”一起用Ｆｅｌａｐｔｏｎ式产生所需要的结论“Ｐ不属于有些Ｒ”。
问题在于我们如何能从原前提“Ｒ属于所有Ｓ”及“Ｐ属于有些Ｓ”得到这两个带有Ｃ的命题。
这两个前提中的第一个由于它不包含Ｐ，从而对于我们的目的来说是没有用处的；从第二个前提我们也不能用通常的方法得到我们的命题，因为它们是特称的，而我们的两个命题都是全称的。
但是，如果我们引入存在量词，那么我们就能得到它们，因为下面的断定命题是真的：（１５）如果Ｐ不属于有些Ｓ则有一Ｃ使得Ｓ属于所有Ｃ并且Ｐ属于无一Ｃ。
如果我们实际认识到对Ｃ所需要的条件总可由Ｐ并不属于的Ｓ的那个部分满足，这个断定命题之为真也就明显了。
①《前分析篇》ｉ。
６，２８ａ１７。
-- 108
６９第三章 亚里士多德三段论系统
由断定命题（１５）出发，在Ｂａｒｂａｒａ式与Ｆｅｌａｐｔｏｎ式的基础上，借助于一些命题逻辑的定律和存在量词的第二条规则，我们就能证明Ｂｏｃａｒｄｏ式。
因为这个证明相当长，我在此处只作一简述。
在（１５）之外，我们取调换过前提的Ｂａｒｂａｒａ式：（１６）
如果Ｓ属于所有Ｃ并且Ｒ属于所有Ｓ，则Ｒ属于所有Ｃ，以及同样的调换过前提的Ｆｅｌａｐｔｏｎ式：（１７）
如果Ｒ属于所有Ｃ并且Ｐ属于无一Ｃ，则Ｐ不属于有些Ｒ。
作为前提。
对这些前提，我们可以应用命题逻辑的一个复杂的断定命题。
奇怪得很，这一点逍遥学派是知道的并且亚历山大还将它归之于亚里士多德本人。
它被称为“综合定理”。
（ｔｈｅｏｅｍ，σα∈ιVθ∈ωDρημα）。
它说“如果α并且β蕴涵F F H G J F于γ，而γ与δ一起蕴涵∈，则α并且β与δ一起蕴涵∈”。
①
令α，β和γ分别为Ｂａｒｂａｒａ式的第一前提、第二前提以及结论，δ和∈分别为Ｆｅｌａｐｔｏｎ式的第二前提与结论；我们得到公
①亚历山大２７４。
１９，“他本人是其发明人的，被称之为‘综合定理’的东西，向我们清楚地表明他现在所谈的东西。
它的进程可以简略地这样叙述：‘如果从某些前提得出某个命题，而这个命题与另一个命题一起引出新的结论，那么第一组与第四个命题一起也引出那同一个结论。
‘“
下面的例子是在同一个地方举出的（２６）
“‘所有公正的是善的’是由‘所有公正的是美好的，所有美好的是善的’所引出的，通过‘所有善的是有益的’引出结论‘所有公正的是有益的’；这恰恰与下述情况是一样的：命题‘所有公正是美好的，所有美好的是善的’（它引出命题‘所有公正是善的’）通过‘所有善的是有益的’也得出同样的结论‘所有公正的是有益的’。”
-- 109
１９。显示法证明A ７９
式：（１８）如果Ｓ属于所有Ｃ并且Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于无一Ｃ，则Ｐ不属于有些Ｒ。
这个公式可按另一条命题逻辑的定律变形如下：（１９）
如果Ｓ属于所有Ｃ并且Ｐ属于无一Ｃ，那么如果Ｒ属于所有Ｓ，则Ｐ不属于有些Ｒ。
对这公式可应用第二条存在量词的规则。
因为Ｃ是在（１９）
的前件中出现的一个自由变项，但不在后件中出现。
根据这条规则，我们可得断定命题：（２０）如果有一个Ｃ使得Ｓ属于所有Ｃ并且Ｐ属于无一Ｃ，那么如果Ｒ属于所有Ｓ，则Ｐ不属于有些Ｒ。
从前提（１５）和断定命题（２０）
，由假言三段论得出后件：（２１）如果Ｐ不属于有些Ｓ那么如果Ｒ属于所有Ｓ，则Ｐ不属于有些Ｒ。
而这就是Ｂｏｃａｒｄｏ式的蕴涵形式。
当然，亚里士多德看到这个推演的所有步骤是极不可能的；但知道这一点是重要的，即他对于显示法证明的直观是对的。
亚历山大对这个Ｂｏｃａｒｄｏ式的证明的注释是值得引证的。
他说：“证明这个式，不必假定某个由知觉提供的、单一的Ｓ，而采用Ｐ不属于它的那样一个Ｓ，这是可能的。
因为Ｐ不属于这个Ｓ，而Ｒ属于所有这个Ｓ，而这两个前提的组合产生结论，Ｐ不属于有些Ｒ“。
①在这里，亚历山大终于承认了显示词可以是普遍的。
①亚历山大１０４。
３。
-- 110
８９第三章 亚里士多德三段论系统
显示法证明对于亚里士多德的三段论理论的系统来说没有什么重要性，所有由显示法证明的定理都能由换位法或归谬法加以证明。
但是它们本身却是极重要的，因为它们包含了一个新的逻辑因素，亚里士多德对于它的意义并不是完全明白的。
或许这就是亚里士多德为什么在他的《前分析篇》第一卷的总结性的一章中（即第七章，他在此章中总括了他的三段论的系统研究）
，除掉了这一类的证明。
①在他之后没有人懂得这些证明。
它留待现代形式逻辑用存在量词的观念来解释它们。
２０。排斥的形式A亚里士多德在其三段论形式的系统研究中不仅证明了真的而且也指出了所有其它那些假的和必须排斥的形式。
让我们借助于一个例子来看亚里士多德如何排斥假的三段论形式。
下面两个前提已经给定：Ａ属于所有Ｂ并且Ｂ属于无一Ｃ。
这是第一格：Ａ是第一个词项或大项，Ｂ是中项，而Ｃ是最后一个词项或小项。
亚里士多德写道：“如果第一个词项属于所有中项，而中项不属于最后一个词项，就没有两端项的三段论；因为没有什么东西必然随着如此关联的词项而来；因为第一个词项应属于最后一个词项
①参看亚历山大的注释，他始终坚持他认为显示法证明的感觉性质的看法。
１２。
３“显示法证明带有感觉的性质，而不带有三段论的性质，从下面这一点可以明显看出来：他本人在任何地方都没有像提到三段论所得到的东西那样地提到它们”。
-- 111
２０。排斥的形式A ９９
的所有分子以及不属于最后一个词项的任何分子都是可能的，所以特称结论与全称结论都不是必然的。
但如果借助于这些前提没有必然的结论，就不能有三段论。
属于所有分子的词项如：动物，人，马；不属于任何分子的词项如：动物，人，石头。“
①
与显示法证明的简短和隐晦相比，上面这一段是相当充分和清楚的。
然而，我恐怕它并没有被注释家们恰当地了解。
按照亚历山大的意见，亚里士多德在这一段中表明从前提的同样组合，对于某些具体词项可以引出（ｃａｎｂｅｄｅｒｉｖｅｄ，σFαDμ∈σαDγσθαι）全称肯定结论，而对于另一些具体词F J F M项，可以引出全称否定结论。
亚历山大断定，这就是那样的前提的组合不具有三段论力量的最明显的标志，因为彼此推翻的反对和矛盾的命题都由它加以证明（σιD αι）。
②亚历山M G F E大所说的，的确使人迷误，因为从前提的非三段论式的（ａｓｙｌCｌｏｇｉｓｔｉｃ）组合不能形式地推导出任何东西，而且也不能证明任何东西。
此外，具有不同具体主项和谓项的命题既不彼此反对也不互相矛盾。
迈尔又把亚里士多德指出的词项置于三段论的形式中：所有人都是动物 所有人都是动物没有马是人 没有石头是人
①《前分析篇》ｉ。
４，２６ａ２。
②亚历山大５。
２，“通过具有具体词项的前提的同样的一个组合既能够得到全称肯定的结论，也能得到全称否定的结论，提供了这个组合不具有三段论力量的最有说服力的证明，因为借助于它，彼此互相推翻的反对和矛盾的命题都得到证明。”
-- 112
０１第三章 亚里士多德三段论系统
所有马都是动物没有石头是动物（他把前提放在横线之上，犹如在三段论里一样）
，并且说：从逻辑上等价的前提得出了（ｒｅｓｕｌｔｓ，ｅｒｇｉｂｔ
ｓｉｃｈ）一个全称肯定命题和一个全称否定命题。
①我们在下面将会看到亚里士多德所给出的词项并非意图置于三段论的形式中，并且没有什么东西从迈尔所引述的冒充的三段论中形式地得出。
考虑到这些错误的了解，对这个问题的逻辑分析似乎是必要的。
如果我们想证明下面的三段论形式：（１）
如果Ａ属于所有Ｂ并且Ｂ属于无一Ｃ，则Ａ不属于有些Ｃ不是一个三段论，并且从而不是一个真的逻辑定理，我们必须指出变项Ａ，Ｂ，Ｃ有那样的值，它们可以确证前提，而不能确证结论。
因为一个包含变项的蕴涵式，只有当变项的一切值确证前件也确证后件，它才是真的。
表明这一点的最容易的办法是找出具体词项确证前提“Ａ属于所有Ｂ”
和“Ｂ属于无一Ｃ”
，但不确证结论“Ａ不属于有些Ｃ”。
亚里士多德找到了那样的词项：以“动物”代Ａ，“人”代Ｂ，“马”代Ｃ。
前提“动物属于所有人”或“所有人都是动物”
，以及“人属于无一马”或“没有马是人”
，都可以确证；但结论“动物不属于
①《亚里士多德的三段论》，卷ｉｉａ，第７６页：“因而，这关系到以下的组合：所有人是动物 所有人是动物没有马是人 没有石头是人所有马是动物没有石头是动物由例子表明：通过我们看到的、由逻辑上完全等价的前提所建立的前提组合，既可以得出一个全称肯定命题也可以得出一个全称否定命题。”
-- 113
２０。排斥的形式A １０１
有些马“或”有些马不是动物“是假的。
因此公式（１）不是一个三段论。
同理，下面的形式：（２）
如果Ａ属于所有Ｂ并且Ｂ属于无一Ｃ，则Ａ属于无一Ｃ，也不是一个三段论，因为前提被与前面的相同词项所确证，但结论“动物属于无一马”或“没有马是动物”是假的。
由（１）和（２）的假可知不能从已给定的前提中得到否定的结论。
从它们也不能得出肯定结论。
例如其次一个三段论形式：（３）
如果Ａ属于所有Ｂ并且Ｂ属于无一Ｃ，则Ａ属于有些Ｃ。
对于Ａ、Ｂ和Ｃ，有值（亦即具体词项）确证前提而不确证结论。
亚里士多德也举出了那样的词项：以“动物”代Ａ，“人”代Ｂ，“石头”代Ｃ。
于是前提被确证了，因为“所有人都是动物”和“没有石头是人”都是真的，但结论“有些石头是动物”明显是假的。
因此，公式（３）不是一个三段论。
最后一个形式：（４）
如果Ａ属于所有Ｂ并且Ｂ属于无一Ｃ，则Ａ属于所有Ｃ，也不能是一个三段论，因为对于上面所举的词项来说，与前面一样，前提被确证了，而结论“所有石头都是动物”
没有被确证。
由以上所述得出：从前提“Ａ属于所有Ｂ”与“Ｂ属于无一Ｃ”的组合中，无论什么结论（当Ａ为结论的谓项、Ｂ为结论的主项时）
都不能推出。
这个前提的组合对三段论是无用的。
这个排斥的过程的主要之点是找出一个真的全称肯定命题（像“所有马都是动物”）和一个真的全称否定命题（像
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２０１第三章 亚里士多德三段论系统
“没有石头是动物”）
，两者皆与前提相容。
这种说法，例如说，只找出对某些词项来说是真的全称肯定陈述，而对另一些词项来说是真的特称否定陈述，是不够的。
这个意见是由亚历山大的老师黑尔米鲁斯以及某些老的逍遥派学者们提出，并被亚历山大正确地驳斥了的。
①这又一次地证明了亚里士多德关于排斥的思想没有被恰当地了解。
三段论形式（１）—（４）被亚里士多德排斥是基于有某些具体词项确证前提而不确证结论。
然而，亚里士多德也还知道另一种对于排斥的证明。
在研究第二格的三段论形式时，亚里士多德一般地说：在这个格中无论是两个肯定前提还是两个否定前提都不能产生必然的结论，接着他这样继续说：“令Ｍ属于无一Ｎ，并且不属于有些Ｘ。
则对Ｎ来说，属于所有Ｘ或属于无一Ｘ都是可能的，属于无一的词项：黑色，雪，动物。
属于所有的词项不能找到，如果Ｍ属于有些Ｘ并且不属于有些Ｘ的话。
因为，如果Ｎ属于所有Ｘ而Ｍ属于无一Ｎ，则Ｍ将属于无一Ｘ；但已假定它属于有些Ｘ。
在这种情况下，就不可能举出词项，而证明必须从特称前提的不确定的性质着手。
因为，由于Ｍ不属于有些Ｘ是真的（甚至，当它属于无一Ｘ时，这也是真的）
，而且因为如果它属于无一Ｘ，一个三段论就是不可能的，很清楚，二者中的任一个都是不可能的。“
②
①亚历山大８９。
３４—９０。
２７，黑尔米鲁斯的话被引述于８９。
３４：“黑尔米鲁斯说：‘从一个同样的前提组合能够得出矛盾的结论；那样的结论是完全能够合理地得出的，而不是用最坏的和非三段论方式得出的。
它们是能够彼此不相容的。
‘“
②《前分析篇》，ｉ。
５，２７ｂ１２－２３
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２０。排斥的形式A ３０１
这里，亚里士多德以举出具体词项的办法开始排斥的证明，如第一个例子。
但接着他破坏了他的证明，因为他不能找出具体词项能确证前提“Ｍ属于无一Ｎ”与“Ｍ不属于有些Ｘ”
，而不确证命题“Ｎ不属于有些Ｘ”
，倘若不属于有些Ｘ的Ｍ，在同时又属于有些（其它的）
Ｘ的话。
理由在于：从前提“Ｍ属于无一Ｎ”与“Ｍ属于有些Ｘ”
，由Ｆｅｓｔｉｎｏ式得出命题“Ｎ不属于有些Ｘ”。
但当Ｍ不属于有些（其它的）
Ｘ时，Ｍ应属于有些Ｘ并非必然的；Ｍ可以属于无一Ｘ。
确证前提“Ｍ属于无一Ｎ”与“Ｍ属于无一Ｘ”而不确证命题“Ｎ不属于有些Ｘ”
的具体词项能够容易地挑选出来，并且事实上亚里士多德在排斥带两个全称否定前提的第二格三段论形式时，找到了它们；所需要的词项是：Ｍ——“线”
，Ｎ——“动物”
，Ｘ——“人”。
①相同的词项可以用于反驳这个三段论形式：（５）如果Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ不属于有些Ｘ，则Ｎ不属于有些Ｘ。
因为前提“没有动物是线”是真的，而第二个前提“有些人不是线”也是真的，因为“没有人是线”是真的，但结论“有些人不是动物”是假的。
无论如何，亚里士多德并没有用这个方式完成他的证明，②因为他看到了另一种可能性：如果
①《前分析篇》ｉ。
５，２７ａ２０，“当Ｍ既不表述任何Ｎ也不表述任何Ｘ时，一个三段论是不可能的。
表示属于的词项是线，动物，人；表示不属于的词项是线，动物，石头。
②亚历山大完成了这个证明，８。
１２，“表示Ｎ属于所有Ｘ的词项为Ｍ——线，Ｎ——动物，Ｘ——人。
线不属于任何动物，并且不属于有些人，因为它并不属于任何人，所以动物属于所有的人。“
-- 116
４０１第三章 亚里士多德三段论系统
具有全称否定前提的形式：（６）如果Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于无一Ｘ，则Ｎ不属于有些Ｘ。
被排斥了，（５）也必定被排斥，因为如果（５）成立，有着一个比（５）强的前提的（６）
，也必定成立。
现代形式逻辑，就我所知，没有使用“排斥”作为与弗莱格的“断定”相对立的一种运算。
“排斥”的规则还没有听说过。
在上述亚里士多德证明的基础上，我们可以陈述下面的规则：（ｃ）如果蕴涵式“如果α，则β”被断定了，但后件β被排斥，那么前件α必定也被排斥。
这条规则不仅当（６）被排斥时可应用以排斥（５）
，而且当（１）被排斥时，也可以应用以排斥（２）。
因为从一个Ｅ前提，得出一个Ｏ前提，而如果（２）是真的，则（１）必真。
但如果（１）被排斥，则（２）必定被排斥。
排斥的规则（ｃ）
相当于断定的分离规则。
我们可以认为排斥的另外一条规则相当于断定的代入规则。
它可以这样构成：（ｄ）
如果以α代β，而且α被排斥了，则β必定也被排斥。
例如：假定“Ａ不属于有些Ａ”被排斥了；则“Ａ不属于有些Ｂ”必定也被排斥，因为，如果第二个表达式被断定，我们就可以用替代从它得到第一个表达式。
而第一个表达式是被排斥的。
这些规则中的第一条是亚里士多德早已知道的，第二条则是他所不知道的。
如果已有某些形式被排斥，这两条规则均可使我们排斥另外一些形式。
亚里士多德排斥某些形式是借
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２１。一些未解决的问题A ５０１
助于具体词项，如“人”
，“动物”
，“石头”。
这个处理是对的，但它往逻辑中引入了与它并无密切关系的词项和命题。
“人”
和“动物”都不是逻辑词项，而命题“所有人都是动物”并非逻辑断定命题。
逻辑不能依赖于具体词项和命题。
如果我们要避免这个困难，我们必须从公理上排斥某些形式。
我发现如果我们从公理上排斥以下两个第二格的形式：（７）
如果Ａ属于所有Ｂ并且Ａ属于所有Ｃ，则Ｂ属于有些Ｃ和，（８）
如果Ａ属于无一Ｂ并且Ａ属于无一Ｃ，则Ｂ属于有些Ｃ。
那么，所有其它形式可以借助于规则（ｃ）
和（ｄ）
而加以排斥。
２１。一些未解决的问题A亚里士多德的非模态三段论系统是一个四常项的理论，这四个常项可以由“所有——是”
，“没有——是”
，“有些——是”与“有些——不是”来表示：这些常项是二元的函子。
这两个元由变项表示，并且仅仅以具体的普遍词项为值。
排除了用单一的、空的以及否定词项等作为它的值，各常项与其元在一起形成四类叫做前提的命题，即“所有Ａ是Ｂ”
，“没有Ａ是Ｂ”
，“有些Ａ是Ｂ”和“有些Ａ不是Ｂ”。
这系统可以称为“形式逻辑”
，因为具体词项，如“人”或“动物”
，并不属于它而仅系它的应用。
这系统不是思维形式的理论，它也不依赖于心理学；正如斯多亚派所正确地观察到的，它与“大于”关系的数学理论是相似的。
这四类前提借助于两个函子“如果——则”
与“并且”
形
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６０１第三章 亚里士多德三段论系统
成这系统的断定命题。
这些函子属于命题逻辑，命题逻辑是这系统的辅助理论。
在某些证明中，我们会遇见第三个命题函子，即命题的否定“这不是真的……”
，简化地用“非”表示。
这四个亚里士多德式的常项：“所有——是”
“没有——是”
，“有些——是”
，和“有些——不是”
，与三个命题常项：“如果——则”
，“并且”
，与“非”加在一起，就是三段论系统仅有的元素。
这个系统的所有断定命题，对于在其中出现的变项的所有的值而言，都是真的。
没有一个亚里士多德式三段论是作为带“所以”一词的推论规则而构成的，如像传统逻辑那样。
传统逻辑是一个不同于亚里士多德三段论系统的系统，而不应当与真正的亚里士多德逻辑搅混在一起。
亚里士多德划分三段论为三个格，但是他知道并承认第四格的所有三段论的式。
三段论划分为格没有什么逻辑上的重要性，而仅有一个实践的目的：我们要确信没有漏掉一个正确的三段论的式。
这系统是公理化的。
亚里士多德取第一格的头两个式，Ｂａｒｂａｒａ与Ｃｅｌａｒｅｎｔ，作为公理。
在这两条公理之外，我们还应当加上两条换位定律，因为它们都不能用三段论加以证明。
如果我们希望这个系统中有同一律：“所有Ａ是Ａ”
，我们就应假定它们是公理。
我们能够得到的最简单的基础，是取常项“所有——是”和“有些——是”为原始词项，凭着它们用命题否定来定义其它两个常项，并设定四条断定命题为公理，即两条同一律和Ｂａｒｂａｒａ式与Ｄａｔｉｓｉ式，或者Ｂａｒｂａｒａ式与ＤｉCｍａｒｉｓ式。
把这个系统建立在仅仅一条公理之上是不可能的，如果“原则”指的是与“公理”相同的东西的话，那么，寻
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２１。一些未解决的问题A ７０１
求亚里士多德的三段论的原则就是一种徒劳的企图。
“所谓全和零原则”
，在这个意义上，也不能是三段论的原则，并且亚里士多德本人也没有那样陈述它。
亚里士多德将所谓不完全的三段论化归为完全的，即化归为公理。
这里，化归指的是从公理出发对一个定理的证明或推导。
他使用三种证明：换位法，归谬法和显示法。
逻辑的分析表明：在头两类的所有证明中，包含着命题逻辑最基础部分的断定命题，即演绎理论。
亚里士多德直观地使用它们，但在他之后不久，命题逻辑的第一个系统的创始者——斯多亚派明白地陈述了它们之中的某一些断定命题，——复杂的易位律、和所谓“综合定理”
（后者曾被人归功于亚里士多德的发现，但它并不见于他现存的逻辑著作中）。
一个新的逻辑因素好像蕴藏在显示法证明之中；这些证明可借存在量词之助而得到解释。
存在量词系统地引入三段论理论，将完全改变这个系统：原始词项“有些——是”能由词项“所有——是”来定义，而许多为亚里士多德所不知道的新的断定命题将会出现。
由于亚里士多德本人在其三段论理论的最后提要中抛弃了显示法证明，这就没有必要把它引入他的系统了。
另一个新的逻辑因素包含在亚里士多德关于不能成立的三段论形式的研究中，那就是排斥。
亚里士多德通过具体词项的例证来排斥不正确的形式。
这个处理在逻辑上是对的，但它把与之没有密切联系的词项和命题引进了这个系统。
然而还有这样的情况，他运用另一种逻辑处理：把一个不正确的形式化为另一个已经排斥了的形式。
在这个提示的基础上，可以陈述一条与断定的分离规则相应的排斥规则。
这可看作是逻
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８０１第三章 亚里士多德三段论系统
辑研究的新领域的开端和应当解决的新问题。
亚里士多德并没有系统地研究所谓复合三段论（ｐｏｌｙｓｙｌ－ｌｏｇｉｓｍｓ）
，即带有三个以上词项和两个以上前提的三段论。
如我们已经看到的，加仑研究了包含四个词项和三个前提的复合三段论。
把第四格的作者看作是加仑是一个古老的逻辑错误。
加仑把四个词项的复合三段论划分为四个格，而不是划分我们熟知其中世纪名称的那些简单的三段论。
他的研究完全被遗忘了。
但复合三段论也属于三段论的理论并且应当加以考虑，在这里是另外一个应当加以系统地研究的问题。
对这个问题的重要的贡献是Ｃ。
Ａ。
麦雷狄士先生提出的那一组公式，这在前面第１４节的末尾处已经提到过了。
还剩下一个未曾为亚里士多德看到，但却是他的整个系统的最重要的问题：这就是判定问题。
有意义的三段论的表达式的数目是无穷的；它们的绝大多数确实是假的，但它们之中有一些可以是真的，如ｎ个词项的有效的复合三段论（无论ｎ是任何正整数）。
我们能够相信，我们的公理与推论规则一起，对于证明所有真的三段论表达式是足够的吗？
并且，同样地，我们能够相信在第２０节之末构造的排斥规则，对于排斥所有假的表达式是足够的吗（即使我们从公理上排斥了它们之中有限的数量）？
我于１９３８年在华沙大学我的数理逻辑讨论班上提出了这些问题。
一个我从前的学生，现任佛罗克拉夫（ｗｒｏｃｌａｗ）大学逻辑与方法论教授Ｊ斯卢派斯基找到了这两W个问题的解答。
他对第一个问题的回答是肯定的，而对于第二个问题的回答是否定的。
据斯卢派斯基说，要用第２０节所引用的规则（ｃ）和（ｄ）去排斥所有假的三段论的表达式，是不可
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２１。一些未解决的问题A ９０１
能的，即令这些表达式中的一个有限数目已经公理地排斥了。
无论怎样多的假表达式我们可以公理地排斥，除了公理地已排斥者外，总还会有不能加以排斥的其它的假表达式。
而要建立一个无穷的公理集合是不可能的：一条新的排斥规则必须加进这个系统以补足由四条公理所作出的亚里士多德逻辑的不充分的刻画。
这条规则是斯卢派斯基发现的。
斯卢派斯基专为亚里士多德的三段论所发现的排斥规则，可以陈述如下：令α与β表示亚里士多德逻辑的否定前提，亦即“没有Ａ是Ｂ”或“有些Ａ不是Ｂ”这种类型的前提，并令γ表示简单前提（任何类型的）
，或者后件为简单前提、前件为简单前提的合取的一个蕴涵式：如果表达式“如果α，则γ”与“如果β，则γ”都已被排斥，则表达式“如果α并且β，则γ”也必被排斥。
①这条规则与排斥规则（ｃ）和（ｄ）
，以及用公理方法排斥了的表达式“如果所有Ｃ是Ｂ并且所有Ａ是Ｂ，则有些Ａ是Ｃ”一起，可以使我们排斥这个系统中的任何假的表达式。
此外，如我们已提出的那样，假定三段论的四条断定的公理，Ｅ和Ｏ前提的定义，断定的表达式的推论规则，以及演绎理论作为辅助系统。
用这种办法，判定问题获得了解决：对于这个系统作出的任何有意义的表达式，我们可以决定它是否为真并可断定，或者它是否为假并须排
①Ｊ斯卢派斯基：《关于亚里士多德三段论理论的研究》（ＺｂａｄａｎDａｄｓｙｌｏW Cｇｉｓｔｙｋａｒｙｓｔｏｔｅｌｅｓａ）
，“佛罗克拉夫科学与文学学会会刊”
，Ｂ类，第９期，佛罗克拉夫１９４８年出版。
见讨论判定问题的第五章。
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０１１第三章 亚里士多德三段论系统
斥。
关于亚里士多德三段论理论的主要研究，由于这问题的解决而宣告终结。
还剩下的唯一的一个问题，或者甚至是一个等待解释的神秘之点就是：为了排斥这个系统的所有假的表达式，那么用公理方法排斥唯一一个假的表达式，亦即第二格的全称肯定前提与特称肯定结论的三段论形式，就是必要与充分的。
没有适合于这个目的的其它表达式。
这个奇怪的逻辑事实的解释也许可以导致逻辑领域内的若干新的发现。
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