第七章　模态逻辑系统

４６。真值表方法A为了充分了解在本章中所阐述的模态逻辑系统，必须熟悉真值表方法。

这个方法可以运用于一切逻辑系统，在这些系统中会出现真值函项，即出现这样的函项，它的真值仅仅依赖于它们的主目的真值。

古典命题演算是一个二值系统，它假定了两个真值：“真”

（用１表示）和“假”

（用０表示）。

按照麦加拉的菲罗的意见，一个蕴涵式总是真的，除非它是以真起始而以假结尾。

这用符号表示就是：Ｃ１＝Ｃ０１＝Ｃ０＝１，而只有Ｃ１０＝０。

显然，真命题的否定是假的（即Ｎ１＝０）

，而假命题的否定则是真的，（即Ｎ０＝１）。

这些符号等式常借助于“真值表”

（或称为“矩阵”）来表示。

Ｃ和Ｎ的二值真值表Ｍ１可以描述如下：Ｃ的真值排列成横行和纵栏而形成一个正方形，并且为左边和上端的直线所分开。

第一个主目的真值放在正方形的左边，第二个主目的真值放在正方形的上端，而Ｃ的真值可以在正方形中找到，在这个正方形中，能够想象到的、从正方形的边沿的各真值划起的许多直线彼此交叉看。

Ｎ的真值表则是容易了解的。

-- 234

２２第七章　模态逻辑系统

借助于这个真值表，古典命题演算，即Ｃ—Ｎ—ｐ演算中的任何表达式都可以机械地加以验证，即当它被断定时加以证明，和被排斥时加以否证。

它满足于这样的目的，将值１和值０去代替变项的一切可能的结合时，如果每一种结合按照真值表所规定的等式最后导至１，那末，这个表达式就是被证明的；如果不是这样，它就是被否证的。

例如，ＣｐｑＣＮｐＮｑ根据Ｍ１而被否证，因为当Ｐ＝０和ｑ＝１时，我们有：Ｃ０１ＣＮ０Ｎ１＝Ｃ１Ｃ１０＝Ｃ１０＝０。

相反，我们的Ｃ—Ｎ—ｐ系统的公理之一ＣｐＣＮｐｑ①根据Ｍ１而得到证明，因为我们有：当ｐ＝１，ｑ＝１：Ｃ１ＣＮ１＝Ｃ１Ｃ０１＝Ｃ１＝１，当ｐ＝１，ｑ＝０：Ｃ１ＣＮ１０＝Ｃ１Ｃ０＝Ｃ１＝１，当ｐ＝０，ｑ＝１：Ｃ０ＣＮ０１＝Ｃ０Ｃ１＝Ｃ０１＝１，当ｐ＝０，ｑ＝０：Ｃ０ＣＮ０＝Ｃ０Ｃ１０＝Ｃ０＝１。

用同样的方法我们可以验证Ｃ—Ｎ—ｐ系统另外两个公理ＣｐｑＣｑｒＣｐｒ和ＣＣＮｐ。

因为Ｍ１是这样构成的：关于断定的表达式的替代规则和分离规则永远产生１的这种特性是有传递性的，Ｃ—Ｎ—ｐ系统中的所有断定的公式都能用真值表

①参阅第１０页。

-- 235

４６。真值表方法A ３２

Ｍ１加以证明。

同样，因为关于被排斥的表达式的推论规则不经常产生１的这种特性是有传递性的，如果ｐ按照公理是被排斥的，那末，Ｃ—Ｎ—ｐ系统中的所有被排斥的公式都能用Ｍ１加以否证。

一个真值表能验证一个系统中所有的公式，即证明被断定的公式和否证被排斥的公式，这个真值表对这个系统来说，称之为“足够的”。

Ｍ１是古典的命题演算一个“足够的”真值表。

Ｍ１对Ｃ—Ｎ—ｐ系统来说不是唯一足够的真值表。

我们通过Ｍ１和自身“相乘”

而得出另一个足够的真值表Ｍ３。

得出Ｍ３的过程可以描述如下：首先，我们形成１和０的有序对偶值，即：（１，１）

，（１，０）

，（０，１）

，（０、０）

，它们是新真值表的元素。

其次，我们借助下述等式决定Ｃ和Ｎ的真值：（ｙ）Ｃ（ａ，ｂ）

（ｃ，ｄ）＝（Ｃａｃ，Ｃｂｄ）

，（２）Ｎ（ａ，ｂ）＝（Ｎａ，Ｎｂ）。

然后，我们按照这些等式建立真值表Ｍ２，最后，通过简化式：（１，１）＝１，（１，０）＝２，（０，１）＝３和（０，０）＝０而将Ｍ２改变为Ｍ３。

-- 236

４２２第七章　模态逻辑系统

Ｍ３中的符号１仍旧标志真，而０仍旧标志假。

新的符号２和３可以解释为真和假的补充记号。

这通过将其中之一（究竟是哪一个这没有关系）等同于１，而另一个等同于０就可以看出来。

请看Ｍ４，那里２＝１，而３＝０。

Ｍ４的第二行和第一行相同，而第四行与第三行相同；同样，Ｍ４的第二栏和第一栏相同，而第四栏与第三栏相同。

消除中间多余的各行和各栏，我们就得出Ｍ１。

用同样的方式我们从Ｍ５得出Ｍ１，那里２＝０和３＝１。

Ｍ３是一个四值的真值表。

Ｍ３乘以Ｍ１，我们得出一个八值的真值表，继续乘以Ｍ１，就得出十六值真值表，并且一般

-- 237

４７。

Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统A ５２

地说，得出一个２ｎ值的真值表。

所有这些真值表对Ｃ—Ｎ—ｐ系统来说都是足够的，并且如果我们通过导入变项函子的方式去扩充系统的话，对它继续是足够的。

４７。

Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统A我们已经遇到两个带有变项函子δ的断定命题：扩展原则ＣＱｐｑＣδｐδｑ和断定命题ＣδｐＣδＮｐδｑ。

由于后一断定命题是我们模态逻辑系统的一个公理，这就有必要对借助于δ而扩充的Ｃ—Ｎ—ｐ系统给以充分的解释，这个扩充了的系统，我们跟随麦雷狄士称之为Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统。

这样做更有必要，是因为对带有δ的系统，甚至一些逻辑学家也几乎是完全无知的。

将变项函子引入命题逻辑，应当归功于波兰逻辑学家列斯涅夫斯基。

通过修改他的关于变项函子的替代规则，我就能得出简易而良好的证明①。

首先须要解释一下这个规则。

我用δ标志一个带有一个命题主目的变项函子，并且断定：如果ｐ是一个有意义的表达式，那末，δｐ就是一个有意义的表达式。

我们考察一下，带有一个变项函子的、最简单的、有意义的表达式，即δｐ的涵义是什么。

一个变项是一个被看作关于一定值域的单个的字母，这些值可以用来替代这个字母。

替代就意味着实际地书写它的

①参阅杨卢卡西维茨：《论命题主目的变项函子》（Ｏｎ

Ｖａｒｉａｂｌｅ

ＦｕｎｃW Cｔｏｒｓ

ｏｆ

ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ

Ａｒｇｕｍｅｎｔｓ）

，载《爱尔兰皇家科学院院刊》，都柏林，１９５１年，５４Ａ２。

-- 238

６２２第七章　模态逻辑系统

一个值去代替这个变项，同一变项的每一次出现都用同样的值去代替。

在Ｃ—Ｎ—ｐ系统中，命题变项（如ｐ或ｑ）的值域是由这个系统中所有有意义的命题的表达式所组成的。

除此以外，还可以导入两个常项：１和０，即一个恒真命题和一个恒假命题。

那末，什么是函子变项δ的值域呢？

很明显，我们可以将任何一值去代替δ，只要这个值与ｐ一起能提供一个在我们系统中有意义的表达式。

不仅带一个命题主目的常函子（例如Ｎ）是如此，就是与带一个主目的函子起相同作用的复合表达式也是如此（例如Ｃｑ或ＣＮｐ）。

通过替代δＣｑ，我们从δｐ得出表达式Ｃｑｐ，而通过]δＣＣＮｐ，则得出表达式ＣＣＮｐ。

但是，这种替代显然不能]包括所有可能的情况。

我们不能用这个方法从δｐ得出Ｃｐｑ或ＣｐＣＮｐｑ，因为没有任何一种对δ的替代能将ｐ从它最后的位置上移开。

但是毫无疑问，最后所说的两个表达式正如Ｃｑｐ或ＣＣＮｐｐ一样，也是对δｐ的替代，因为δｐ，正如我所知道的那样，是代表所有包含ｐ的（包括ｐ和δｐ本身）有意义的表达式。

我可以用下述方法来克服这个困难，我首先用例子来说明这个方法。

为了从δｐ通过对δ的替代而得出Ｃｐｑ，我写作δＣ‘ｑ，我通过消除δ并用δ的主目、即用ｐ去填充由省略]符号所划出的空栏来实现这种替代。

用同样的方法我从δｐ通过替代δＣ‘ＣＮ’ｑ得出表达式ＣｐＣＮｐｑ。

如果在表达式中出]现不止一个δ，如在ＣδｐＣδＮｐδｑ中所出现的那样，而我想对这个表达式作出替代δＣ‘ｒ，那末，我就必须在每一次都消]除δ并在消除的地方写上Ｃ’ｒ，以δ的相应的主目去填充空

-- 239

４７。

Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统A ７２

栏。

这样，我就从δｐ得出Ｃｐｒ，从δＮｐ得出ＣＮｐｒ，从δｑ得出Ｃｑｒ，而从整个表达式得出ＣＣｐｒＣＮｐｒＣｑｒ。

从同一表达式ＣδｐＣδＮｐδｑ通过替代δＣ‘“推出公式ＣＣｐＣＮｐＮｐＣｑ。

替]代δ‘表示δ应当省略；通过这样的替代，我们就可以例如]从ＣδｐＣδＮｐδｑ得出邓斯司各脱原则ＣｐＣＮｐｑ。

替代δδ‘是W ]“同一的”替代，它不引起任何变化，一般地说，我们通过对δ的替代而从一个包含δ的命题得出一个新的表达式，这种替代是对δ写上一个带有至少一个空白处的有意义的表达式，并且以δ的各个主目去填充这些空白处。

这不是一个新的替代规则，而只是对一个变项函子的替代应当如何实行的一个描述。

Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统可以建立在被断定的单个公理之上，这个单个公理已为我们所熟悉：５１。

ＣδｐＣδＮＰδｑ对这个系统必须加入按照公理加以排斥的表达式ｐ以便产生所有被排斥的表达式。

麦雷狄士在一篇未发表的论文中表明，Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统的所有断定的公式都可以从公理５１推出。

①

①麦雷狄士在他的论文：《论一个命题演算的扩充系统》（Ｏｎ

ａｎ

ＥｘｔｅｎｄCｅｄ

Ｓｙｓｔｅｍｏｆ

ｔｈｅ

ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ

ｃａｌｃｕｌｕｓ）

（载《爱尔兰皇家科学院院刊》，都柏林，１９５１年，５４Ａ３）中证明，Ｃ—Ｏ—δ—ｐ演算，即以Ｃ和Ｏ作为基本词项和带有函子变项和命题变项的演算，可以从公理Ｃδｏδｐ完全地建立起来。

他的证明完全性能的方法可以运用于带有表达式ＣδＣδＮｐδｑ作为公理的Ｃ—Ｎ—δ—Ｐ系统。

在第１６５页注②中所提到的我那篇关于模态逻辑的论文中，我从公理５１推出Ｃ—Ｎ—Ｐ系统的三个被断定的公理，即ＣＣｐｑＣｑｒＣｐｒ，ＣＮｐ，ＣｐＣＮｐｑ，以及某些出现δ的重要断定命题，其中包括扩展原则。

-- 240

８２２第七章　模态逻辑系统

推论规则就是通常的分离规则和对命题变项和函子变项的替代规则。

为了以例子说明这些规则如何发生作用，我将从公理５１推出同一律Ｃｐ。

可将这个推论与Ｃ—Ｎ—ｐ系统中对Ｃｐ证明加以比较。

①

５１。

δ‘，ｑｐ×５３]５３。

ＣｐＣＮｐ

５１。

δＣｐＣＮｐ‘，ｑＮｐ×Ｃ５３—５４] ]５４。

ＣｐＣＮｐＮｐＮｐＣＮｐＮｐ

５１。

δ‘，ｑＮｐ×５] ]５。

ＣｐＣＮｐＮｐ

５。

ｐＣｐＣＮｐＮｐ×Ｃ５—５６]５６。

ＣＮＣｐＣＮｐＮｐＮＣｐＣＮｐＮｐ

５１。

δＣ“

，ｐＣｐＣＮｐＮｐ，ｑｐ×Ｃ５４—Ｃ５６—５７]５７。

Ｃｐ我想强调指出，在公理５１之上建立的系统比Ｃ—Ｎ—ｐ系统要丰富得多。

在包含δ的断定的结论中有这样的逻辑定律，像ＣＣｐｑＣｑｐＣδｐδｑＣδＣｐｑＣδｐδｑＣδＣｐｑＣｐδｑ——所有这些都是非常重要的定律，但是几乎所有的逻辑学家对它们都毫无所知。

例如，第一个定律是与ＣＱｐｑＣδｐδｑ等值的扩展原则，第二个定律可以采用为称作“蕴涵”系统的唯一的公理；第三个定律可以采用为称作“实证”

逻辑的一个公理。

所有这些定律都可以用真值表方法按照下面给予的规则加以验证。

在二值逻辑中存在四个并且也只有四个带有一个主目的

①参阅第１０２页。

-- 241

４８。

δ－定义A ９２

不同函子，这里用Ｖ，Ｓ，Ｎ和Ｆ来标志（参阅真值表Ｍ６）

对验证δ－表达式，用下述实用规则是足够的，这个规则实际上应当归功于列斯涅夫斯基。

这个规则是：相继地写下函子Ｖ，Ｓ，Ｎ和Ｆ以代替δ，然后消除Ｓ，将Ｖａ变成Ｃｐ，而将Ｆａ变成ＮＣｐ。

如果你们在所有的情况下都得出一个真的Ｃ—Ｎ—公式，那末，这个表达式就被断定，否则，就应当被排斥。

例如，ＣδＣｐｑＣδｐδｑ应当被断定，因为我们有ＣＳＣｐｑＣＳｐＳｑ＝ＣＣｐｑＣｐｑ，ＣＮＣｐｑＣＮｐＮｑ，ＣＶＣｐｑＣＶｐＶｑ＝ＣＣｐＣｐＣｐ，ＣＦＣｐｑＣＦｐＦｑ＝ＣＮＣｐＣＮＣｐＮＣｐ。

表达式ＣＣｐｑＣδｐδｑ应当被排斥，因为ＣＣｐｑＣＮｐＮｑ不是一个真的Ｃ—Ｎ—公式。

由此，我们看到，Ｃ—Ｎ—δ—Ｐ系统的所有表达式用真值表的方法都是容易加以证明或否证的。

４８。

δ－定义A函子δ可以成功地运用于表达定义。

《数学原理》的作者们用一个特殊的符号表达定义，这特殊的符号由将定义项和被定义项联结起来的等号“＝”

，以及放在定义之后的字母

-- 242

０３２第七章　模态逻辑系统

“ＤＦ”所组成。

按照这个方法，析取式的定义就可以这样来表示：ＣＮｐｑ。

＝。

Ｈｐｑ

Ｄｆ，这里ＣＮｐｑ（“如果非ｐ，那末ｑ”）是定义项，而Ｈｐｑ，（“或者ｐ，或者ｑ”）是被定义项。

①符号“。

＝。

Ｄｆ“是与一个特殊的推论规则联结在一起的，这个推论规则允许用被定义项代替定义项，以及反转过来。

这种定义的优点在于结果是直接给予的。

但是它却具有增加基本符号和推论规则的数目这样的缺点，而这些数目应当尽可能地减少。

列斯涅夫斯基总是将同样的定义写成一个等值式，因此，在他的系统中没有引入用以表达定义的新的基本词项。

为了这个目的，他选择了等值式作为他的命题逻辑的基本词项，这个命题逻辑借助于函子变项和量符而加以扩展，并且被他称之为“原始命题演算系统”

（ｐｒｏｔｏｔｈｅｔｉｃ）。

这正是他的观点的优越之处。

但另一方面，他不能直接用被定义项代换定义项，或者反转过来，因为等值式具有允许作出这种代换的一些特殊规则。

在我们的Ｃ—Ｎ—δ—Ｐ系统中，等值式不是基本词项；因此对它必须给以定义，但是为了避免恶的循环，它不能用等值式来下定义。

然而，我们将看到，可以用一定的方法将Ｃ和δ去表达定义，这种方法保存了上述两种观点的优点，而避免了它们的缺点。

①我通常用Ａ表示析取，但这个符号在我的三段论中已经具有了别的意义。

-- 243

４８。

δ－定义A １３２

一个定义的目的在于引入一个新的词项，这个词项通常是由我们已知的词项所组成的一些复合表达式的一个简化式。

定义的两部分（定义项和被定义项）

为了产生一个合式的定义，必须满足某些条件。

下述四个条件对引入我们系统中的新的函项的定义是必要的也是充分的：（ａ）

不管是定义项还是被定义项，都须是命题的表达式。

（ｂ）定义项必须由基本词项，或者由用基本词项已经定义过的词项组成。

（ｃ）

被定义项须要包含通过定义而引入的新的词项。

（ｄ）在定义项中所出现的任何自由变项，必须在被定义项中也出现，反过来也是一样。

容易看到，例如作为定义项的ＣＮｐｑ和作为被定义项的Ｈｐｑ就遵守了上述四个条件。

我们现在以ｐ和Ｒ标志满足（ａ）—（ｄ）的条件的两个表达式，因此，其中之一（究竟是哪一个，这没有关系）可以取作定义项，而另一个取作被定义项。

假定其中任何一个都不包含δ。

我认为，这个断定的表达式ＣδＰδＲ就代表一个定义。

例如：５８。

ＣδＣＮｐｑδＨｐｑ代表析取的定义。

按照５８式，任何包含ＣＮｐｑ的表达式可以直接改变为另外一个表达式，其中ＣＮｐｑ被Ｈｐｑ所代换。

我们可以取邓斯司各脱原则作为例子：W５９。

ＣｐＣＮｐｑ，我们可以通过下述推论从它得出定律ＣｐＨｐｑ，用语言表达即是：“如果ｐ，那末，或者ｐ或者ｑ”

：

５８。

δＣｐ‘×Ｃ５９—６０]６０。

ＣｐＨｐｑ。

-- 244

２３２第七章　模态逻辑系统

如果我们想将我们的定义运用于克拉维乌斯原则：６１。

ＣＮｐ，我们必须首先在５８式中用ｐ代ｑ，从而得出

５８。

ｑｐ×６２]６２。

ＣδＣＮｐｑδＨｐｑ

６２。

δＣ‘ｐ×Ｃ６１—６３]６３。

ＣＨｐ。

（公式６３读作：“如果或者ｐ或者ｐ，那末ｐ”

，它是《数学原理》的作者们所采用的一个“基本命题”或公理。

他们将这个公理正确地称为“重言式原则”

，因为这个公理所陈述的是两次叙说同一东西（α‘òDγ∈ι）

，“ｐ或者ｐ”

，就是仅只叙H F H Q M F说了“ｐ”。

例如，邓斯司各脱原则在任何合理的意义上都不W是重言式。）

５８式的逆蕴涵式ＣδＨｐδｑＣＮｐｑ是与前一公式一起被给予的，它使我们有可能用ＣＮｐｑ去代换Ｈｐｑ。

的确，我们只要用替代规则和分离规则就能证明下述一般定理：（Ｃ）如果ｐ和Ｒ是任何不包含δ的有意义的表达式，并且ＣδｐδＲ是被断定的，那末，ＣδｐδＲ也同样应当被断定。

证明：（Ｄ）ＣδＰδＲ

（Ｄ）

δＣδ‘δＰ×（Ｅ）

]（Ｅ）ＣＣδＰδＰＣδＲδＰ

（Ｄ）

δＣＣδＰδ‘ＣδＲδＰ×（Ｆ）

]（Ｆ）ＣＣδＰδＰＣδＲδＰＣδＰδＲＣδＲδＰ（Ｆ）×Ｃ（Ｅ）—Ｃ（Ｄ）—（Ｇ）

-- 245

４９。模态逻辑的四值系统A ３３２

（Ｇ）ＣδＲδＰ。

所以，如果ｐ和Ｒ不包含δ，并且其中一个可以解释为定义项而另一个为被定义项，那末，显然，任何具有ＣδＰδＲ形式的被断定的表达式都是一个定义，因为ｐ到处可以为Ｒ所代换，而Ｒ也到处可以为ｐ所代换，这恰恰就是一个定义所具有的特性。

４９。模态逻辑的四值系统A模态逻辑的每一系统都必须包含基本模态逻辑以作为自己的固有部分，即必须在它的断定命题中包含Ｍ－公理：ＣｐＭｐ，PＣＭｐｐ和PＭｐ，与Ｌ－公理：ＣＬｐ，PＣｐＬｐ和PＮＬｐ。

容易看到，Ｍ和Ｌ与二值演算中的四个函子Ｖ，Ｓ，Ｎ和Ｆ的任何一个都是有区别的。

Ｍ不能是Ｖ，因为Ｍｐ是被排斥的，而Ｖｐ＝Ｃｐｐ却被断定；它也不能是Ｓ，因为ＣＭｐｐ是被排斥的，而ＣＳｐ＝Ｃｐｐ却被断定，它也不能是Ｎ和Ｆ，因为ＣｐＭｐ被断定，而ＣｐＮｐ和ＣｐＦｐ＝ＣｐＮＣｐｐ却被排斥。

这对于Ｌ也同样如此。

函子Ｍ和Ｌ在二值逻辑中不能得到解释。

所以，任何模态逻辑系统都应当是多值的。

另外还有一种观点，它也导致同样的结果。

如果我们跟亚里士多德一样，承认某些未来的事件（例如海战）是偶然的，那末，今天陈述这些事件的命题就既不能是真的，也不能是假的，因此要有区别于１和０的第三个真值。

根据这个观念，并且借助于真值表方法（我从皮尔士和施累德那里熟悉了这种方法）

，我在１９２０年建立了三值的模态逻辑系统，后来又在

-- 246

４３２第七章　模态逻辑系统

１９３０年的论文中发展了这个系统。

①今天我已了解到，这个系统不能满足我们关于模态的全部直觉，因而应当为下面所描述的系统所代替。

我的意见是：在任何模态逻辑中都应当保存古典的命题演算。

这种演算至今仍然表明它的确实性和有效性，而不应当毫无根据将它弃之一边。

万幸得很，古典命题演算不仅有一个二值的真值表，而且还有足够的多值真值表。

我曾试图将最简单的，对Ｃ—Ｎ—δ—Ｐ系统为足够的多值真值表，即四值真值表运用于模态逻辑，并且成功地获得了预期的结果。

正如我们在第４６节所看到的那样，真值表Ｍ２的元素是一对值１和０，它从下述等式推出Ｎ的真值：（ｚ）Ｎ（ａ，ｂ）＝（Ｎａ，Ｎｂ）。

表达式“（Ｎａ，Ｎｂ）”是一般形式（∈ａ，ｂ）的特殊情况，这\里∈和具有二值演算中的Ｖ，Ｓ，Ｎ和Ｆ等函子作为真值。

\因为∈的四个值中的每一个都可以和的四个值中的每一个\相组合，我们就得出１６种组合，这１６种组合定义四值演算中具有一个主目的１６个函子。

我在其中找到两个函子，每一个都能代表Ｍ。

这里我定义其中一个，而另一个我将在以后再讨论。

（α）Ｍ（ａ，ｂ）＝（Ｓａ，Ｖｂ）＝（ａ，Ｃｂ）

①杨卢卡西维茨《论三值逻辑》（ＯｌｏｇｉｃｅｔｒóｊｗａｒｔｏｓDｃｉｏｗｅｊ）

，载《哲学进W展》《Ｒｕｃｈ

Ｆｉｌｏｚｏｆｉｃｚｎｙ》，第五卷利沃夫（Ｌｗóｗ）

，１９２０；杨卢卡西维茨《命W题演算多值系统的哲学考察》（Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｉｓｃｈｅ

Ｂｅｍｅｒｋｕｎｇｅｎ

ｚｕｍｅｈｒｗｅｒｔｉCｇｅｎ

ｓｙｓｔｅｍｅｎｄｅｓ

Ａｕｓａｇｅｎｋａｌｋüｌｓ）

，载《华沙科学与文学学会会刊》，第十三卷ｃｌ。

３，１９３０。

-- 247

４９。模态逻辑的四值系统A ５３２

在（α）的基础上我得出Ｍ的真值表Ｍ７，我用在第４６节中所说的同样的简化法将Ｍ７变为真值表Ｍ８，即：（１，１）＝１，（１，０）＝２，（０，１）＝３和（０，０）＝０。

这样，在得出Ｍ的真值表以后，我选择Ｃ，Ｎ和Ｍ作为基本词项，并且将我的模态逻辑系统建立在下述四个公理之上：５１。

ＣδｐＣδＮｐδｑ

４。

ＣｐＭｐ

P５。

ＣＭｐｐP７。

Ｍｐ。

推论的规则是关于断定的表达式和排斥的表达式的替代规则和分离规则。

Ｌｐ是依靠δ定义引入的：C６４。

ＣδＮＭＮｐδＬｐ。

这表示：“ＮＭＮｐ”在任何地方都可以为“Ｌｐ”所替换，而反过来，“Ｌｐ”在任何地方也可以为“ＮＭＮｐ”所替换。

同样的模态逻辑系统也可以在下述基础上建立：使用Ｃ，Ｎ和Ｌ作为基本词项，以及公理：５１。(奇*书*网.整*理*提*供)

ＣδｐＣδＮｐδｑ

３。

ＣＬｐ

P６。

ＣｐＬｐP８。

ＮＬｐ，

-- 248

６３２第七章　模态逻辑系统

和Ｍ的δ定义：C６５。

ＣδＮＬＮｐδＭｐ。

Ｍ９是这个系统的充分足够的真值表：

我希望，在经过上述解释之后，每一个读者都可以借助于这个真值表去验证属于这个系统的任何公式，即证明断定的公式和否证排斥的公式。

可以证明，这个系统在这样的意义上说是完全的，即属于这个系统的每一个有意义的表达式都是可以判定的，它或者被断定，或者被排斥。

它在这样的意义上说也是一致的，即无矛盾的，这就是说任何一个有意义的表达式不能同时既被断定又被排斥。

这一个公理的集合是独立的。

我想强调一下，这个系统的公理完全是自明的。

带有δ的公理应当为所有接受古典命题演算的逻辑学家所熟悉；带有Ｍ的公理也应当断定为真；推论的规则同样是自明的。

在这个系统中所有正确推出的结果都应当为接受这些公理和推论规则的人所允许。

没有真正的理由可以用来反对这个系统。

我们也将看到，这个系统排斥了所有关于模态逻辑所引出的错

-- 249

５０。必然性和模态逻辑的四值系统A ７３２

误推论，解释了亚里士多德模态三段论中的困难，并且揭示了一系列意外的、对于哲学具有重大意义的逻辑事实。

５０。必然性和模态逻辑的四值系统A在第六章结尾时指出过两个重大的困难：第一个是与亚里士多德承认有断定的必然命题相联系，第二个是与他承认有断定的偶然命题相联系，现在让我们解决第一个困难。

如果将所有分析命题都看作是必然真的命题，那末，最典型的分析命题——同一性原则Ｆｘ——也应当看作是必然真的命题。

正如我们已经看到的那样，这就会导致这样错误的结论，即任何两个个体，如果它们是同一的，它们就必然是同一的。

这个结论是不能从我们的模态逻辑系统推论出来的，因为可以证明：在这个系统中任何一个必然命题都不是真的。

由于这个证明是建立在扩展定律ＣＣｐｑＣＬｐＬｑ的基础上的，我们必须首先证明，这个定律是从我们的系统推出的。

公理５１的结果要这样表述：６。

ＣδＣｐｑＣδｐδｑ。

从６式通过替代δＭ‘推出公式：]６７。

ＣＭＣｐｑＣＭｐＭｑ，而从６７式通过ＣＣｐｑＭＣｐｑ，公理４的替代，和借助于假言三段论，我们得出较强的Ｍ－扩展定律：１９。

ＣｐｑＣＭｐＭｑ。

较强的Ｌ－扩展定律ＣＣｐｑＣＬｐＬｑ是通过易位从１９式推出的。

在第４２节中所遗留下未获解决的问题，即亚里士多德的扩

-- 250

８３２第七章　模态逻辑系统

展定律的较强的或较弱的解释应该容许哪一个的问题，这样得到了有利于较强的解释的解决。

任何必然命题都不是真的，这个证明现在将以充分精确的形式作出；前提：

P６。

ＣｐＬｐ１８。

ＣｐｑＣＬｐＬｑ３。

ＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ６８。

ＣｐｑｒＣｑｒ推演：

６８。

ｒＣＬｐＬｑ×Ｃ１８—６９]６９。

ＣｑＣＬｐＬｑ

３。

ｐｑ，ｑＬｐ，ｒＬｑ×Ｃ６９—７０]７０。

ＣＬｐＣｑＬｑ

７０。

ｐα，ｑｐ×ＣP７１—P６] ] P７１。

Ｌα希腊字母的变项α需要作些解释。

公式７０的后件ＣｑＬｑ，它与排斥的表达式ＣｐＬｐ同义，按照我们的规则，允许排斥前件Ｌｐ以及对Ｌｐ的任何替代。

但是，这不能依靠PＬｐ来表达，因为从一个排斥的表达式通过替代不能得出任何东西。

例如，Ｍｐ是被排斥的，但是ＭＣｐ——一个Ｍｐ的替代式——却是被断定的。

为了表达７０式的前件对于Ｌ的任何主目都是被排斥的，我使用希腊字母（称之为“解释变项”）以便与用拉丁字母标志的“替代变项”相区别。

因为命题α可以给予任何解释，PＬα代表一个一般的定律，并且表示，任何以Ｌ起始的表达式，即任何必然命题，都是应当被排斥的。

-- 251

５０。必然性和模态逻辑的四值系统A ９３２

这个结果，PＬα通过Ｌ的真值表得到证明，这个Ｌ真值表是由Ｎ和Ｍ的真值表按照Ｌ的定义建立起来的。

每个人在看到Ｍ９表之后都可以发现，Ｌ只以２和０作为自己的真值，而从来不以１为自己的真值。

由于运用模态逻辑于同一性原理而得出错误结果的问题，现在就容易得到解决了。

因为ＬＦｘｘ作为一个必然命题，不能被断定，它就不能用分离法从前提（ｔ）ＣＦＸｙＣＬＦｘＬＦｘｙ或

ＣＬＦｘＣＦｘｙＬＦｘｙ引伸出结论：（ｖ）

ＣＦｘｙＬＦｘｙ。

用真值表的方法的确可以证明（ｔ）应予断定，因为它永远得１，但（ｖ）却应当是被排斥的。

由于同一性原则Ｆｘｘ是真的，即Ｆｘ＝１，因此，我们就得出ＬＦｘ＝２，和ＣＦｘｙＣＬＦｘＬＦｘｙ＝ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ。

表达式Ｆｘｙ可以具有１，２，３或０四个值中的任何一个值。

如果Ｆｘｙ＝１，那末，ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ

＝Ｃ１Ｃ２Ｌ１＝Ｃ１Ｃ２＝Ｃ１＝１，如果Ｆｘｙ＝２，那末，ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ

＝Ｃ２Ｃ２Ｌ２＝Ｃ２Ｃ２＝Ｃ２１＝１，如果Ｆｘｙ＝３，那末，ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ

＝Ｃ３Ｃ２Ｌ３＝Ｃ３Ｃ２０＝Ｃ３＝１，如果Ｆｘｙ＝０，那末，ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ

＝Ｃ０Ｃ２Ｌ０＝Ｃ０Ｃ２０＝Ｃ０３＝１。

可见，（ｔ）

是被证明的，因为它的真值化归的最后结果总是１。

相反，（ｖ）

是被否证的，因为我们有：当Ｆｘｙ＝１时，ＣＦｘｙＬＦｘｙ＝Ｃ１Ｌ１＝Ｃ１２＝２。

-- 252

０４２第七章　模态逻辑系统

当奎因问到什么是下面推理中的错误时①，提供了上述困难的有趣并且有益的例子：（ａ）晨星必然和晨星同一。

（ｂ）

但是昏星并不必然和晨星同一（只是事实上与它同一）。

（ｃ）但是同样一个客体不能具有矛盾的属性（不能是Ａ又不是Ａ）。

（ｄ）所以，晨星和昏星是不同的客体。

由我们的系统对这个困难所提供的解决是非常简单的。

这个推理是错误的，因为前提（ａ）和（ｂ）不是真的，而不能被断定，因此结论（ｄ）不能从（ａ）和（ｂ）推出，虽然事实上，蕴涵式Ｃ（ａ）

Ｃ（ｂ）

（ｄ）是正确的（第三个前提作为真的前提可以省去）。

上述蕴涵式可以用下述方式证明：用ｘ表示晨星，而用ｙ表示昏星，那末，（ａ）是ＬＦｘ，（ｂ）是ＮＬＦｙｘ，它与ＮＬＦｘｙ等值，（因为同一是一种对称关系）

，而（ｄ）是ＮＦｘｙ。

这样，我们就得出公式ＣＬＦｘＣCＮＬＦｘｙＮＦｘｙ，它是真的断定命题（ｔ）的一个正确的变形。

奎因所提出的例子现在可以借助我们的四值真值表用下述方式来验证：如果“ｘ”和“ｙ”的意义同上，那末，Ｆｘ＝Ｆｘｙ＝１；从而ＬＦｘ＝ＬＦＸｙ＝Ｌ１＝２，ＮＬＦＸｙ＝Ｎ２＝３和ＮＦＸｙ＝Ｎ１＝０，因此，按照ＣＬＦｘＣＮＬＦｘｙＮＦｘｙ，我们有Ｃ２Ｃ３０＝Ｃ２＝１。

这个蕴涵式是真的，但由于它的两个前提并

①我从坎特伯雷大学学院（新西兰，克赖斯彻奇）哲学系复写出版的“逻辑注释”

（Ｌｏｇｉｃ

Ｎｏｔｅｓ）

（１６０）

中找到这个例子，这本书是由普莱奥尔（Ａ。

Ｎ。

AＰｒｉｏｒ）教授寄给我的。

-- 253

５１。成对的可能性A １４２

非都是真的，所以，结论可能是假的。

我们将在下面一章看到，类似的困难是亚里士多德与他的朋友德奥弗拉斯特斯和欧德谟斯之间展开争论的主要原因。

关于“任何一个必然命题都不是真的”

这个重要发现的哲学涵义，将在第６２节中阐述。

５１。成对的可能性A我在第４９节中提到，有两个函子，它们都可以代表可能性。

我用Ｍ标志其中的一个，并且用等式将它定义为（α）Ｍ（ａ，ｂ）＝（Ｓａ，Ｖｂ）＝（ａ，Ｃｂ）

，我用等式将另一个函子定义为（β）Ｗ（ａ，ｂ）＝（Ｖａ，Ｓｂ）＝（Ｃａ，ｂ）

，我用Ｗ标志它，这个Ｗ看起来好象反过来的Ｍ。

按照这个定义，Ｗ的真值表是Ｍ１０，并且可以简化为Ｍ１１。

虽然Ｗ与Ｍ有区别，但它证实了与Ｍ所证实的同样结构的公理，因为ＣｐＷｐ用Ｍ１１得到证明，正如ＣｐＭｐ用Ｍ８得到证明一样，而PＣＷｐｐ和PＷｐ用Ｍ１１被否证，正如PＣＭｐｐ和PＭｐ用Ｍ８而被否证一样。

我可以用Ｍ去标志Ｗ的真值表：

-- 254

２４２第七章　模态逻辑系统

还可以表明，Ｍ和Ｗ之间的区别不是一种真正的区别，而只是由于不同的标志而产生的区别。

可以回忆一下，我是通过用２来标志（１，０）和用３标志（０，１）这成对的值，而从Ｍ２得出Ｍ３的。

由于这种标志完全是任意的，因而我有同样的权利用３表示（１，０）和用２表示（０，１）

，或者选择别的任何数字和记号。

让我交换Ｍ９中的值２和值３，在写２的地方记上３，而在写３的地方记上２。

我们从Ｍ９得出真值表Ｍ１２，而通过重新分配Ｍ１２中的中间各行和各栏，就得出真值表Ｍ１３：

如果我们将Ｍ９和Ｍ１３进行比较，那末就看到Ｃ和Ｎ的真值表保持不变，而相当于Ｍ和Ｌ的真值表却变得不同了，因而我不能用Ｍ和Ｌ去标志它们。

在Ｍ１３中的、对应于Ｍ９中的

-- 255

５１。成对的可能性A ３４２

Ｍ的真值表正是Ｗ的真值表。

Ｍ１３仍然是与Ｍ９相同的真值表，只是用另一种标志书写出来而已。

Ｗ代表与Ｍ相同的函子，应当具有与Ｍ相同的性质。

如果Ｍ表示可能性，那末，Ｗ也同样表示可能性，并且在这两个可能性之间不可能有任何区别。

虽然Ｍ和Ｗ是同一的，但当他们在同一公式中出现的时候，他们就显出差别。

它们类似于一对样子非常相像的孪生子，当分别地遇到他们的时候，不能加以区别，而当看到他们在一起时，就能立即将他们识别出来。

为了了解这一点，让我们考察一下表达式ＭＷｐ，ＷＭｐ，ＭＭｐ和ＷＷｐ。

如果Ｍ和Ｗ是同一的，那末，这四个表达式也应当彼此同一。

但是，它们并不同一。

用我们的真值表可以证明，下述公式是被断定的：７２。

ＭＷｐ和７３。

ＷＭｐ，因为Ｗｐ只有１或者２作为它的真值，而Ｍ１正如Ｍ２＝１；同样，Ｍｐ只有１或者３作为它的真值，而两者Ｗ１＝１和Ｗ＝３１。

另一方面，可以证明，公式７４。

ＣＭＭｐＭｐ和７５。

ＷＷｐＷｐ是被断定的，而因为不论是Ｍｐ还是Ｗｐ，都是被排斥的，那末ＭＭｐ和ＷＷｐ也应当是被排斥的，因而我们有

P７６。

ＭＭｐ和P７７。

ＷＷｐ，所以，我们不能在７２或７３式中用Ｍ代替Ｗ或用Ｗ代替Ｍ，因为这样我们会从一个断定的公式得出一个排斥的公式。

至今还没有任何人注意到存在成对的可能性（与此相联系也存在成对的必然性）这个有趣的逻辑事实，它是由我的

-- 256

４２第七章　模态逻辑系统

四值模态系统而得出的另一个重大的发现。

这个事实非常精密并且要求为古代逻辑学家已经知道的形式逻辑有一个很大的发展。

存在这对孪生子既说明了亚里士多德或然三段论理论中的错误和困难，也证明了他关于偶然性直觉观念的正确。

５２。偶然性和模态逻辑的四值系统A我们已经知道，亚里士多德模态逻辑中的第二个巨大困难是与他关于某些偶然命题为真这个假设有关。

根据断定命题５２（它是我们的公理５１的变形）

５２。

ＣＫδｐδＮｐδｑ，我们得出下述结果：

５２：δＭ，ｐα，ｑｐ×７８] ] ]７８。

ＣＫＭαＭＮαＭｐ

７８。

ＣP７９—P７P７９。

ＫＭαＭＮα这表示：表达式７９对于任一命题α，都是被排斥的，因为α在这里是一个“解释变项”。

因而，不存在这样的α，它能验证两个命题“α是可能的”和“非α是可能的”

，也就是说，不存在真的偶然命题Ｔα，如果Ｔｐ是像亚里士多德所作的那样，定义为Ｍｐ和ＭＮｐ的合取，即８０。

ＣδＫＭｐＭＮｐδＴｐ。

这个结果用真值表的方法得到证实。

采用Ｋｐｑ号的通常定义：８１。

ＣδＮＣｐＮｑδＫｐｑ，我们得出关于Ｋ的真值表Ｍ１４，并且我们有：

-- 257

５２。偶然性和模态逻辑的四值系统A ５４２

当ｐ＝１：ＫＭｐＭＮｐ＝ＫＭ１ＭＮ１＝Ｋ１Ｍ０＝Ｋ１３＝３当ｐ＝２：ＫＭｐＭＮｐ＝ＫＭ２ＭＮ２＝Ｋ１Ｍ３＝Ｋ１３＝３当ｐ＝３：ＫＭｐＭＮｐ＝ＫＭ３ＭＮ３＝Ｋ３Ｍ２＝Ｋ３１＝３当ｐ＝０：ＫＭｐＭＮｐ＝ＫＭ０ＭＮ０＝Ｋ３Ｍ１＝Ｋ３１＝３。

我们看到，合取式ＫＭｐＭＮｐ具有恒值３，因而永远都不是真的。

因此，Ｔｐ＝３，也就是说，不存在在定义８０所指意义上的真的偶然命题。

然而，亚里士多德认为“明天可能发生海战”和“明天可能不发生海战”

两个命题今天可以都是真的。

因此，按照他的偶然性观点，是可以有真的偶然命题的。

有两个方法可以避免亚里士多德的观点和我们的模态逻辑系统之间的这种矛盾：我们应当或者否定命题可以同时既是偶然的又是真的，或者修改亚里士多德的偶然性定义。

我选择了第二个方法，使用了上面所揭示的可能性成对的形态。

抛掷一个钱币，可以落下或者钱币的正面或者钱币的反面，换句话说，可能落下正面，也可能不落下正面。

我们倾向于将两个命题都看作是真的。

但是，如果第一个“可能性”用与第二个可能性相同的函子去标志的话，它们就不能两个都

-- 258

６４２第七章　模态逻辑系统

真。

第一个可能性是与第二个可能性完全相同的，但是，从这里不应得出，它就应该用同样的方式去标志。

落下正面的可能性与不落下正面的可能性是有区别的。

我们可以用Ｍ标志一个可能性，而用Ｗ标志另一个可能性。

带有肯定主目的命题“ｐ是可能的”

可以表达为Ｍｐ；带有否定主目的命题“非ｐ是可能的”可以表达为ＷＮｐ；或者第一个作为Ｗｐ，第二个作为ＭＮｐ。

这样，我们就获得两个偶然性函子，譬如说是Ｘ和，它们的定义如下：e８２。

ＣδＫＭｐＷＮｐδＸｐ和８３。

ＣδＫＷｐＭＮｐδｐ。

e不可能将这些定义译成日常的语言，因为我们没有两类可能性和偶然性的名称。

我们就将它们称为“Ｍ－可能的”和“Ｗ－可能的”

，“Ｘ－偶然的”和“－偶然的”。

这样，我们就e可以概略地说：“ｐ是Ｘ－偶然的”表示“ｐ是Ｍ－可能的并且Ｎｐ是Ｗ－可能的”

，而“ｐ是－偶然的”表示“ｐ是Ｗe－可能的并且Ｎｐ是Ｍ－可能的”。

从定义８２和８３，我们可以推出Ｘ和γ的真值表。

我们得出：当ｐ＝１：Ｘ１＝ＫＭ１ＷＮ１＝Ｋ１Ｗ０＝Ｋ１２＝２；１＝ＫＷ１ＭＮ１＝Ｋ１Ｍ０＝Ｋ１３＝３。

e当ｐ＝２：Ｘ２＝ＫＭ２ＷＮ２＝Ｋ１Ｗ３＝Ｋ１＝１；２＝ＫＷ２ＭＮ２＝Ｋ２Ｍ３＝Ｋ２３＝０。

e当ｐ＝３：Ｘ３＝ＫＭ３ＷＮ３＝Ｋ３Ｗ２＝Ｋ３２＝０；

-- 259

５２。偶然性和模态逻辑的四值系统A ７４２

３＝ＫＷ３ＭＮ３＝Ｋ１Ｍ２＝Ｋ１＝１。

e当ｐ＝０：Ｘ０＝ＫＭ０ＷＮ０＝Ｋ３Ｗ１＝Ｋ３１＝３；０＝ＫＷ０ＭＮ０＝Ｋ２Ｍ１＝Ｋ２１＝２。

e真值表Ｍ１５表明，不论是Ｘｐ还是ｐ，对于ｐ的某些值证明是e真的（Ｘｐ，当ｐ＝２；ｐ，当ｐ＝３）。

现在已经证明，ＫＭｐＭＮｐe具有恒值３；同样可以表明，ＫＷｐＷＮｐ具有恒值２。

这样，我们就得到两个断定的公式：８４。

ＸＫＷｐＷＮｐ和８５。ＫＭｐＭＮｐ。

e这表明在我们的系统中存在真的Ｘ－偶然命题和真的－偶e然命题。

我们就可以将在亚里士多德意义上的偶然性和我们的四值模态逻辑协调起来。

从Ｍ１５也得出，Ｘ－偶然性和－偶然性是孪生子。

如果e我们在Ｍ１５中用３代替２，用２代替３，那末，Ｘ就变成，而e变成Ｘ。

然而，Ｘ跟是有区别的，其区别的程度比Ｍ和Ｗe的区别更大，因为命题Ｘｐ和ｐ是相互矛盾的。

容易看到，借e助于Ｍ１５，下述等式是成立的：（γ）Ｘｐ＝Ｎｐ＝Ｎｐ和　（δ）ｐ＝ＸＮｐ＝ＮＸｐ。

e

-- 260

８４２第七章　模态逻辑系统

矛盾律和排中律对Ｘｐ和ｐ都是真的，也就是说，我们有：e８６。

ＮＫＸｐｐ和８７。

ＨＸｐｐ。

e这表示，一个命题不能同时既是Ｘ－偶然的又是－偶然的，e而任何命题或者是Ｘ－偶然的，或者是－偶然的。

Ｘ－偶然e命题的否定是－偶然命题，反过来，－偶然命题的否定是e eＸ－偶然命题。

这听起来好像是自相矛盾的，因为我们习惯于认为：那种非偶然的东西，或者是不可能的，或者是必然的，不可能和必然是与同一种可能性发生联系的。

但是，非Ｘ－偶然的，或者是Ｍ－不可能的，或者是Ｍ－必然的，这种说法是不正确的；应该说，那种非Ｘ－偶然的东西，或者是Ｍ－不可能的，或者是Ｗ－必然的，而那种或者Ｍ－不可能、或者Ｗ－必然的东西是与－偶然的东西等值的。

e同样的误解是由于围绕断定命题８进行的争论而引起的，

８。

ＣＫＭｐＭｑＭＫｐｑ，它在我们系统中是被断定的。

刘易士（Ｃ。

Ｉ。

Ｌｅｗｉｓ）在他某些模态系统中断定了公式：８９。

ＣＭＫｐｑＫＭｐＭｑ，但是拒绝了它的逆换式，即８式。

他使用了下述论证①：“如果ｐ和ｑ两个都真，是可能的，那末，ｐ是可能的并且ｑ是可能的。

这个蕴涵式不能逆换过来。

例如，可能读者将立即看到它，也可能他不立即看到它。

但是，不可能他既立即看到它又不立即看到它“。

这个论证是缺少说服力的。

这里“读者”

指的是什

①刘易士和朗佛（Ｃ。

Ｈ。

Ｌ。

Ｌａｎｇｆｏｒｄ）

：《符号逻辑》，（Ｓｙｍｂｏｌｉｃ

Ｌｏｇｉｃ）

，纽约和伦敦，１９３２年版，第１６７页。

-- 261

５２。偶然性和模态逻辑的四值系统A ９４２

么呢？

如果指的是个别读者，如Ｒ，那末，或者Ｒ将立即看到这个，或者Ｒ将不立即看到这个。

在前一种情况下，第一个前提“可能Ｒ立即看到这个”

是真的，但第二个前提是假的，而一个假的命题怎样可以成为可能真的命题呢？

在后一种情况下，第二个前提是真的，而第一个前提是假的，而一个假的命题不能成为可能真的命题。

公式８中的两个前提并不是两个都可证明的，因而用这种方式是不能驳斥这个公式的。

而如果“读者”一词指的是某些读者，那末，“可能某些读者将立即看到这个”和“可能某些读者将不立即看到这个”这两个前提可以都是真的，但是，在这种情况下，“可能某些读者将立即看到这个并且某些读者将不立即看到这个”

这个结论显然也是真的。

自然，将立即看到这个并且不看到这个的不会是同一读者。

刘易士所提出的例子并没有驳斥掉公式８，相反，它还证明了它的正确性。

但是，看来这个例子是选择得不适当的。

前提增加了“立即”一词，就丧失了它的偶然的性质。

说读者将“立即”看到或者不看到这个，我们涉及的是那在看见的时刻被决定的东西。

而真的偶然性涉及的是未决定的事件。

让我们就举钱币的例子，它与亚里士多德的海战的例子是同一类的。

两个例子都是关系到现在没有决定但将来要决定的事件。

所以，“可能落下钱币的正面”和“可能不落下钱币的正面”这两个前提现在可以都是真的，而“可能落下又不落下钱币的正面”这个结论任何时候都不是真的。

但是，我们知道，偶然性不能用Ｍｐ和ＭＮｐ的合取来下定义，但可以用Ｍｐ和ＷＮｐ，或者Ｗｐ和ＭＮｐ的合取来下定义，因此，上面引述的例子就不属

-- 262

０５２第七章　模态逻辑系统

于断定命题８。

所以，它不能否证它。

这一点是为刘易士和其他逻辑学家所不知道的，而在一个错误的偶然性概念的基础上，他们就排斥了所讨论的断定命题。

５３。其他某些问题A虽然我们的四值模态逻辑系统的公理和推论规则是十分显然的，但这个系统的某些结论却可能看起来是自相矛盾的。

我们已经遇到自相矛盾的断定命题：偶然命题的否定仍然是偶然的；作为这一类的另一个断定命题，我可以提出“双重偶然性”定律，按照这个定律，下述公式是真的：９０。

ＱｐＸｐ和９１。

Ｑｐｐ。

e问题在于去发现关于这样公式的某些解释，这些解释从直观上说是可满足的，并且能解释它们表面上的奇异。

当古典命题演算刚刚为人所知的时候，也出现过对它的某些原则，特别是对ＣｐＣｑｐ和ＣｐＣＮｐｑ的激烈的反对。

这些原则具体地表现了中世纪的逻辑学家所熟悉的、并且为他们用下述语句表述出的两个逻辑定律。

语句是：“Ｖｅｒｕｍｓｅｑｕｉｔｕｒ

ａｄ

ｑｕｏｄｌｉCｂｅｔ和Ａｄ

ｆａｌｓｕｍｓｅｑｕｉｔｕｒ

ｑｕｏｄ－ｌｉｂｅｔ“

①。

就我所知，这些原则现在已经是众所周知的了。

无论如何，我们的模态系统在这一方面不会比其他的模态逻辑系统处于更坏的地位。

在某些模态逻辑系统中包含有这样非直观的公式，如：

P９２。

ＱＭＮＭｐＮＭｐ，

①真理随便从什么东西都能推出；从谬误推出所有任意的东西。

-- 263

５３。其他某些问题A １５２

这里，一个或然命题“ｐ不可能，这是可能的”与一个必然命题“ｐ是不可能的”等值。

代替这个必须加以排斥的奇怪的公式，在我们的系统中，我们有这样的断定命题：９３。

ＱＭＮＭｐＭＮｐ它和９４。

ＱＭＭｐＭｐ一起，使我们可能将所有由Ｍ和Ｎ组成的模态函子的组合化归为四个不能再行化归的、为亚里士多德已知的组合式，即Ｍ＝可能，ＮＭ＝不可能，ＭＮ＝不必然和ＮＭＮ＝必然。

第二个问题关系到将四值模态逻辑扩充到更高系统中的问题。

可以用八值系统作为例子。

我们通过将真值表Ｍ９和真值表Ｍ１相乘而得出这个系统的真值表Ｍ１６。

我们规定这些成对的值作为新的真值表中的元素：（１，１）

＝１，（１，０）

＝２，（２，１）＝３，（２，０）＝４，（３，１）＝５，（３，０）＝６，（０，１）＝７，（０，０）＝０，另外按照（ｙ）

，（ｚ）和（α）这些等式规定Ｃ，Ｎ和Ｍ的真值。

-- 264

２５２第七章　模态逻辑系统

数字１象通常一样，标志真，０标志假，而其他的数字则是真和假之间的中间值。

如果我们注意考察真值表Ｍ１６，我们就会发现，Ｃ栏的第二行与Ｍ栏是相同的。

这一行因而代表可能性的真值表。

同样，Ｃ的其余各行，除了第一行与最后一行以外，都代表某种可能性。

如果我们用Ｍ２到Ｍ７去标志它们，我们就能肯定：当２≤ｉ≤７时，Ｍｉ满足可能性的全部公理，即：９５。

ＣｐＭｉｐ，P９６。

ＣＭｉｐ，P９７。

Ｍｉｐ。

在这些不同种类的可能性中，有某些“较强一些”和某些“较弱一些”

，因为我们有，例如：ＣＭ２ｐＭ４ｐ或者，ＣＭ３ｐＭ６ｐ，但是不能反转过来。

所以，我们可以说，在八值模态逻辑中存在各种等级的可能性。

我总是认为，只有两个模态系统可能具有哲学和科学的重要性：最简单的模态系统，其中可能性看作不具有等级，这就是我们的四值模态系统，和值系统，其中有无限多的可能性的等级。

进一步研究这个问题将是有趣的，因为我们可能在这里发现模态逻辑和概率论之间的联系环节。

-- 265